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Repository: OpenNMT/Im2Text
Branch: master
Commit: 6184e033c1cd
Files: 78
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Directory structure:
gitextract_xkub52gy/
├── .luacheckrc
├── LICENSE.md
├── README.md
├── data/
│ ├── labels.txt
│ ├── test.txt
│ ├── train.txt
│ ├── validate.txt
│ └── vocab.txt
├── opennmt/
│ ├── Constants.lua
│ ├── Factory.lua
│ ├── LanguageModel.lua
│ ├── Model.lua
│ ├── ModelSelector.lua
│ ├── Seq2Seq.lua
│ ├── SeqTagger.lua
│ ├── data/
│ │ ├── AliasMultinomial.lua
│ │ ├── Batch.lua
│ │ ├── BatchTensor.lua
│ │ ├── Dataset.lua
│ │ ├── Preprocessor.lua
│ │ ├── SampledDataset.lua
│ │ ├── Vocabulary.lua
│ │ └── init.lua
│ ├── init.lua
│ ├── modules/
│ │ ├── BiEncoder.lua
│ │ ├── DBiEncoder.lua
│ │ ├── Decoder.lua
│ │ ├── Encoder.lua
│ │ ├── FeaturesEmbedding.lua
│ │ ├── FeaturesGenerator.lua
│ │ ├── GRU.lua
│ │ ├── Generator.lua
│ │ ├── GlobalAttention.lua
│ │ ├── JoinReplicateTable.lua
│ │ ├── LSTM.lua
│ │ ├── MaskedSoftmax.lua
│ │ ├── Network.lua
│ │ ├── NoAttention.lua
│ │ ├── PDBiEncoder.lua
│ │ ├── ParallelClassNLLCriterion.lua
│ │ ├── Sequencer.lua
│ │ ├── WordEmbedding.lua
│ │ └── init.lua
│ ├── tagger/
│ │ ├── Tagger.lua
│ │ └── init.lua
│ ├── train/
│ │ ├── Checkpoint.lua
│ │ ├── EpochState.lua
│ │ ├── Optim.lua
│ │ ├── Trainer.lua
│ │ └── init.lua
│ ├── translate/
│ │ ├── Advancer.lua
│ │ ├── Beam.lua
│ │ ├── BeamSearcher.lua
│ │ ├── DecoderAdvancer.lua
│ │ ├── PhraseTable.lua
│ │ ├── Translator.lua
│ │ └── init.lua
│ └── utils/
│ ├── CrayonLogger.lua
│ ├── Cuda.lua
│ ├── Dict.lua
│ ├── ExtendedCmdLine.lua
│ ├── Features.lua
│ ├── FileReader.lua
│ ├── Logger.lua
│ ├── Memory.lua
│ ├── MemoryOptimizer.lua
│ ├── Parallel.lua
│ ├── Profiler.lua
│ ├── String.lua
│ ├── Table.lua
│ ├── Tensor.lua
│ └── init.lua
├── src/
│ ├── cnn.lua
│ ├── data.lua
│ ├── model.lua
│ └── train.lua
└── tools/
├── README.md
└── generate_vocab.py
================================================
FILE CONTENTS
================================================
================================================
FILE: .luacheckrc
================================================
globals = {
"torch",
"cutorch",
"nn",
"paths",
"cudnn",
"image",
"onmt",
"tds"
}
self = false
================================================
FILE: LICENSE.md
================================================
MIT License
Copyright (c) 2016 OpenNMT
Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal
in the Software without restriction, including without limitation the rights
to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell
copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
furnished to do so, subject to the following conditions:
The above copyright notice and this permission notice shall be included in all
copies or substantial portions of the Software.
THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE
AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM,
OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE
SOFTWARE.
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FILE: README.md
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# Im2Text
A deep learning-based approach to learning the image-to-text conversion, built on top of the <a href="https://opennmt.github.io/">OpenNMT</a> system. It is completely data-driven, hence can be used for a variety of image-to-text problems, such as image captioning, optical character recognition and LaTeX decompilation.
Take LaTeX decompilation as an example, given a formula image:
<p align="center"><img src="http://lstm.seas.harvard.edu/latex/results/website/images/119b93a445-orig.png"></p>
The goal is to infer the LaTeX source that can be compiled to such an image:
```
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = d x ^ { + } d x ^ { - } + l _ { p } ^ { 9 } \frac { p _ { - } } { r ^ { 7 } } \delta ( x ^ { - } ) d x ^ { - } d x ^ { - } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + \; \cdots \; + d x _ { 9 } ^ { 2 }
```
The paper (http://arxiv.org/pdf/1609.04938v1.pdf) provides more technical details of this model.
## Installation
Im2Text is built on top of <a href="https://opennmt.github.io/">OpenNMT</a>, which is packed in this project. It also depends on `tds`, `class`, `cudnn`, `cutorch` and `paths`. Currently we only support **GPU**.
## Quick Start
To get started, we provide a toy Math-to-LaTex example. We assume that the working directory is `Im2Text` throughout this document.
Im2Text consists of two commands:
1) Train the model.
```
th src/train.lua -phase train -gpu_id 1 -input_feed -model_dir model \
-image_dir data/images -data_path data/train.txt -val_data_path data/validate.txt -label_path data/labels.txt -vocab_file data/vocab.txt \
-batch_size 20 -beam_size 1 \
-max_num_tokens 150 -max_image_width 500 -max_image_height 160 \
-max_grad_norm 20.0 -learning_rate 0.1 -decay perplexity_only
```
2) Translate the images.
```
th src/train.lua -phase test -gpu_id 1 -load_model -model_dir model \
-image_dir data/images -data_path data/test.txt \
-output_dir results \
-batch_size 2 -beam_size 5 \
-max_num_tokens 500 -max_image_width 800 -max_image_height 800
```
The above dataset is sampled from the [processed-im2latex-100k-dataset](http://lstm.seas.harvard.edu/latex/processed-im2latex-100k-dataset.tgz). We provide a trained model [[link]](http://lstm.seas.harvard.edu/latex/model_latest) on this dataset. In order to use it, download and put it under `model_dir` before translating the images.
## Data Format
* `-image_dir`: The directory containing the images. Since images of the same size can be batched together, we suggest padding images of similar sizes to the same size in order to facilitate training.
* `-label_path`: The file storing the tokenized labels, one label per line. It shall look like:
```
<label0_token0> <label0_token1> ... <label0_tokenN0>
<label1_token0> <label1_token1> ... <label1_tokenN1>
<label2_token0> <label2_token1> ... <label2_tokenN2>
...
```
* `-data_path`: The file storing the image-label pairs. Each line starts with the path of the image (relative to `image_dir`), followed by the index of the label in `label_path` (index counts from 0). At test time, the label indexes can be omitted.
```
<image0_path> <label_index0>
<image1_path> <label_index1>
<image2_path> <label_index2>
...
```
* `-vocab_file`: The vocabulary file. Each line corresponds to a token. The tokens not in `vocab_file` will be considered unknown (UNK).
## Options
For a complete set of options, run `th src/train.lua -h`.
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FILE: data/labels.txt
================================================
d s ^ { 2 } = ( 1 - { \frac { q c o s \theta } { r } } ) ^ { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } \lbrace d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } \rbrace - { \frac { d t ^ { 2 } } { ( 1 - { \frac { q c o s \theta } { r } } ) ^ { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } } } \, .
\widetilde \gamma _ { \mathrm { h o p f } } \simeq \sum _ { n > 0 } \widetilde { G } _ { n } { \frac { ( - a ) ^ { n } } { 2 ^ { 2 n - 1 } } }
( { \cal L } _ { a } g ) _ { i j } = 0 , \ \ \ \ ( { \cal L } _ { a } H ) _ { i j k } = 0 ,
S _ { s t a t } = 2 \pi \sqrt { N _ { 5 } ^ { ( 1 ) } N _ { 5 } ^ { ( 2 ) } N _ { 5 } ^ { ( 3 ) } } \left( \sqrt { n } + \sqrt { \bar { n } } \right)
\hat { N } _ { 3 } = \sum \sp f _ { j = 1 } a _ { j } \sp { \dagger } a _ { j } \, .
+ \int \! \! d ^ { D } \! z _ { 1 } d ^ { D } \! z _ { 2 } d ^ { D } \! z _ { 3 } \left. \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 1 } ) } \, \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 2 } ) } \, \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) \delta j ( z _ { 3 } ) } \, \frac { \delta ^ { 3 } \Gamma } { \delta \Phi ( z _ { 1 } ) \delta \Phi ( z _ { 2 } ) \delta \Phi ( z _ { 3 } ) } \right] ,
\, ^ { * } d \, ^ { * } H = \kappa \, ^ { * } d \phi = J _ { B } .
{ \frac { \phi ^ { \prime \prime } } { A } } + { \frac { 1 } { A } } \left( - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { A ^ { \prime } } { A } } + 2 { \frac { B ^ { \prime } } { B } } + { \frac { 2 } { r } } \right) \phi ^ { \prime } - { \frac { 2 } { r ^ { 2 } } } \phi - \lambda \phi ( \phi ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ) = 0 \, .
\partial _ { \mu } ( F ^ { \mu \nu } - e j ^ { \mu } x ^ { \nu } ) = 0 .
V _ { n s } ( { \tilde { x } } ) = \left( \frac { { \tilde { m } } N ^ { 2 } } { 1 6 \pi } \right) N g ^ { 2 n s - 1 } { \tilde { x } } ^ { 2 } \left\{ { \tilde { x } } ^ { 2 } - \frac { 2 { \tilde { b } } } { 3 } { \tilde { x } } + \frac { { \tilde { b } } ^ { 2 } } { 3 } - ( - 1 ) ^ { n s } { \tilde { c } } \right\} \, .
g _ { i j } ( x ) = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \, \delta _ { i j } , ~ ~ \phi ^ { a } ( x ) = \phi ^ { a } , \quad ( a , \phi ^ { a } \! : ~ \mathrm { c o n s t . } )
\rho _ { L } ( q ) = \sum _ { m = 1 } ^ { L } \ P _ { L } ( m ) \ { \frac { 1 } { q ^ { m - 1 } } } \ \ .
e x p \left( - \frac { \partial } { \partial \alpha _ { j } } \theta ^ { j k } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { k } } \right)
L _ { 0 } = \Phi ( w ) = \bigtriangleup \Phi ( w ) ,
\left( D ^ { * } D ^ { * } + m ^ { 2 } \right) { \cal H } = 0
{ \frac { d V } { d \Phi } } = - { \frac { w \Phi } { \Phi _ { \! _ { 0 } } ^ { 2 } } } \, .
g ( z , \bar { z } ) = - \frac { 1 } { 2 } \left[ x ( z , \bar { z } ) \, s + x ^ { * } ( z , \bar { z } ) \, s ^ { * } + u ^ { * } ( z , \bar { z } ) \, t + u ( z , \bar { z } ) \, t ^ { * } \right] ,
x _ { \mu } ^ { c } = x _ { \mu } + A _ { \mu } .
s = { \frac { S } { V } } = { \frac { A _ { H } } { l _ { p } ^ { 8 } V } } = { \frac { T ^ { 2 } } { \gamma } } .
\psi ( \gamma ) = \operatorname { e x p } { - ( { \textstyle { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } } ) \int _ { \gamma } d y ^ { a } \int _ { \gamma } d y ^ { a ^ { \prime } } D _ { 1 } ( y - y ^ { \prime } ) }
E = E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 \operatorname { s i n h } ( \gamma ( 0 ) / 2 ) } \operatorname { s i n h } \left( \gamma ( 0 ) \left( \frac { 1 } { 2 } + c ( 0 ) \right) \right) h c \nu _ { \mathrm { v i b } }
\langle T _ { z z } \rangle = - 3 \times \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 4 4 0 a ^ { 4 } } .
\partial _ { u } \xi _ { z } ^ { ( 1 ) } + { \frac { 1 } { u } } \xi _ { z } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { ( \pi T R ) ^ { 2 } u } } \left[ C _ { z } H _ { z z } ^ { \prime } + C _ { t } H _ { t z } ^ { \prime } \right] \, .
S \sim \tilde { \psi } Q _ { o } \tilde { \psi } + g _ { s } ^ { 1 / 2 } \tilde { \psi } ^ { 3 } + \tilde { \phi } Q _ { c } \tilde { \phi } + g _ { s } \tilde { \phi } ^ { 3 } + \tilde { \phi } B ( g _ { s } ^ { 1 / 2 } \tilde { \psi } ) + \cdots .
C ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = C \Phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) \ , \quad \Phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = \operatorname { e x p } \left[ - i e \int _ { x ^ { \prime \prime } } ^ { x ^ { \prime } } d x ^ { \mu } A _ { \mu } ( x ) \right] \ ,
\tilde { \alpha } = \alpha \beta ^ { - m } = \left( \begin{array} { c c c } { \omega _ { k } ^ { - 2 y } \omega _ { 2 d } ^ { 2 m } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega _ { k } ^ { y } \omega _ { 2 d } ^ { - m } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega _ { k } ^ { y } \omega _ { 2 d } ^ { - m } } \\ \end{array} \right)
d s ^ { 2 } = H ^ { - 2 } f ( r ) d t ^ { 2 } + H ^ { 2 / ( n - 1 ) } ( f ( r ) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { n } ^ { 2 } ) ,
y ^ { 2 } = \rho \; \operatorname { c o s h } \beta \; \operatorname { s i n } \theta \; \operatorname { s i n } \phi \qquad \qquad y ^ { 3 } = \rho \; \operatorname { c o s } \theta
e ^ { A } = e ^ { A _ { 0 } } \left( t _ { 0 } - \mathrm { s i g n } ( m ) t \right) ^ { - \frac { m } { 2 } } \; , \; \; \; \; \chi = \chi _ { 0 } \left( t _ { 0 } - \mathrm { s i g n } ( m ) t \right) ^ { m } \; ,
\gamma _ { j } { \cal P } _ { j i } = \frac { 4 } { 3 } \{ [ A d \, T ] [ t _ { 8 } ^ { c } , [ t _ { 8 } ^ { c } , { \gamma } _ { j } ] ] [ A d \, T ^ { - 1 } ] \} { A d \, { \hat { g } } } _ { i j } .
K _ { \mu \nu } ~ = ~ \frac { 1 } { 2 } \dot { g } _ { \mu \nu } .
X ( u ) = { \frac { \left( \pm i + e ^ { 3 \eta } \right) \left( - 1 + { e ^ { u } } \right) \left( 1 + { e ^ { u } } \right) x _ { 1 } } { 2 { e ^ { u } } \left( \pm i + { e ^ { 3 \eta + u } } \right) } } ,
\beta ( g ) \frac { \partial } { \partial g } = 2 g \beta ( g ) \frac { \partial } { \partial g ^ { 2 } }
A = a r ^ { \beta } , \quad B = b r ^ { \beta + 2 } ; \qquad a / b = c ( \beta + 2 ) / ( \beta - 2 ) ,
\delta W _ { P \mu } = A _ { \mu } \Phi + B _ { P \mu } ^ { \alpha } K _ { P } ^ { \alpha } \ .
\frac { 1 } { d - 2 } \tilde { \Pi } ^ { 2 } - \tilde { \Pi } _ { a b } \tilde { \Pi } ^ { a b } = \frac { \left( d - 1 \right) \left( d - 2 \right) } { \ell ^ { 2 } } + R
\hat { e } = e / \varepsilon , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat { G } _ { 4 } = G _ { 4 } ,
V _ { ( n , \, m ) } ( z , \overline { { z } } ) = : \operatorname { e x p } i ( p _ { + } \phi ( z ) + p _ { - } \bar { \phi } ( \overline { { z } } ) ) : \: .
\langle f | g \rangle _ { { \cal L } ^ { 1 | 2 } } = \langle f _ { 0 } | g _ { 0 } \rangle _ { \cal L } ^ { s } + \langle f _ { 1 } | g _ { 1 } \rangle _ { \cal L } ^ { s + 1 / 2 } + \langle f _ { 2 } | g _ { 2 } \rangle _ { \cal L } ^ { s + 1 / 2 } + \langle f _ { 3 } | g _ { 3 } \rangle _ { \cal L } ^ { s + 1 } \, ,
\tilde { s } ^ { 0 } ( x , y ) = i e ^ { 2 } \int \! d ^ { 4 } \! z \, S _ { \mathrm { F } } ( x , z ) \, \gamma ^ { \mu } \, S _ { \mathrm { F } } ( z , y ) \, [ d _ { \mu } ( x - z ) + d _ { \mu } ( z - y ) ]
\left\{ \begin{array} { l c l l } { \phi ~ ( \infty ) } & { = } & { 0 } & { , \vspace { 3 m m } } \\ { \phi ~ ( 0 ) } & { = } & { 1 } & { . } \\ \end{array} \right.
{ \cal P } _ { \delta x } \equiv { \frac { k ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } | \delta x | ^ { 2 } \, ,
\psi ( x ) = - 2 \phi ( x ) + 2 \phi ( L ) + c ,
{ } ^ { ( { } ^ { \scriptstyle x } y ) } ( { } ^ { x } z ) = { } ^ { x } ( { } ^ { y } z ) , \qquad \forall x , y , z \in X .
\delta ( L _ { 1 } + L _ { 2 } ) = 2 \delta \bar { \theta } ( 1 + \gamma ^ { ( p ) } ) T _ { ( p ) } ^ { \nu } \partial _ { \nu } \theta .
\frac { 1 } { 2 \lambda f ^ { 2 } } \int \; d ^ { 4 } X \, \frac { d ^ { 4 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \left( \varphi ( X ) \right) ^ { 2 } \tilde { \pi } _ { 0 } ( q ) \left[ \partial _ { q } ^ { 2 } + \frac { 4 i \lambda } { q ^ { 2 } - \Sigma ^ { 2 } ( q ) } \right] \tilde { \pi } _ { 0 } ( q ) ,
( K ^ { - 1 } ) _ { S } ^ { U } = - \frac { z ^ { * 3 } ( 1 - A | z | ^ { 2 } ) P ^ { \prime } ( y ) } { e ^ { \tilde { K } / 2 } P ^ { \prime \prime } ( y ) } , \mathrm { ~ } ( K ^ { - 1 } ) _ { T } ^ { U } = \frac { ( T + T ^ { * } ) z ^ { * 3 } ( 1 - A | z | ^ { 2 } ) } { e ^ { \tilde { K } / 2 } ( 1 - \frac { \bar { n } } { 3 } B ( 1 - A | z | ^ { 2 } ) \| \Pi \| ) } ,
G ^ { \mu \nu \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } = g ^ { \mu \mu ^ { \prime } } g ^ { \nu \nu ^ { \prime } } + g ^ { \mu \nu ^ { \prime } } g ^ { \nu \mu ^ { \prime } } - { \frac { 2 } { D } } g ^ { \mu \nu } g ^ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } + C g ^ { \mu \nu } g ^ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } \: .
[ M _ { \mu \nu } , M _ { \rho \tau } ] = g _ { \mu \tau } \, M _ { \nu \rho } - g _ { \nu \tau } M _ { \mu \rho } + g _ { \nu \rho } M _ { \mu \tau } - g _ { \mu \rho } M _ { \nu \tau } \, ,
A _ { 0 } = \pm \sqrt { { \frac { 4 } { 3 ( 1 - \alpha ) } } } e ^ { ( \alpha - 1 ) \phi } \ .
C _ { m } ( \mu ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \Gamma _ { r } } { \frac { C _ { m } ( z ) } { z - \mu } } d z ,
\xi = \alpha ^ { - 1 } \sqrt { \rho } \operatorname { c o s h } ( 2 \alpha ^ { 2 } t ) \, , \quad \eta = \alpha ^ { - 1 } \sqrt { \rho } \operatorname { s i n h } ( 2 \alpha ^ { 2 } t )
a _ { 1 } = \frac { 2 \tilde { q } } { \alpha ^ { 2 } ( D - 2 ) + 2 q \tilde { q } } , ~ ~ ~ ~ a _ { 2 } = \frac { \alpha ^ { 2 } ( D - 2 ) } { \alpha ^ { 2 } d ( D - 2 ) + 2 \tilde { d } q ^ { 2 } }
\theta \epsilon ^ { i } = \zeta ^ { i } \, ; \qquad \theta \zeta ^ { i } = \epsilon ^ { i } \, ; \qquad \theta \eta ^ { i } = - \eta ^ { i } \, .
{ \cal A } _ { f i } ( s ) = - i \frac { Q _ { \mu \nu } V _ { f } ^ { \mu } ( \bar { s } ) V _ { i } ^ { \nu } ( \bar { s } ) } { ( s - \bar { s } ) [ 1 - A ^ { \prime } ( \bar { s } ) ] } + N ,
S = \frac { 1 } { G } \int d x d t \: \sqrt { - \bar { g } } \: e ^ { - 2 \bar { \phi } } ( \bar { R } + 4 ( \bar { \nabla } \bar { \phi } ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \int d x d t \: \sqrt { - \bar { g } } \: \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \bar { \nabla } f _ { i } ) ^ { 2 } ,
\phi ^ { A } = \frac { \partial F ( \phi , \phi ^ { * } ) } { \partial \phi _ { A } ^ { * } } \hspace { 2 c m } \phi _ { A } ^ { * } = \frac { \partial F ( \phi , \phi ^ { * } ) } { \partial \phi ^ { A } } .
Q ^ { M } = \dot { g } _ { 0 } \int _ { \phi ( \Sigma ) } \sum _ { i = 1 } ^ { l } \beta _ { i } \eta _ { i } \int _ { N _ { i } } \frac 1 { \sqrt { g } } \delta ^ { D } ( x - z _ { i } ( u ) ) \sqrt { g _ { u } }
\psi ( x ) = [ 2 \pi \sigma ^ { 2 } ] ^ { - 1 / 4 } \operatorname { e x p } \left[ - \left( \frac { x - x _ { 0 } } { 2 \sigma } \right) ^ { 2 } + i p _ { 0 } x \right] ,
A _ { \mu } = \bar { A } _ { \mu } ( \phi ) + a _ { \mu } \ ,
\left[ D _ { f } , D \right] = 0 \, .
\operatorname { e x p } _ { q } A = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { A ^ { n } } { [ n ] ! }
\langle b _ { 1 } ( z , \bar { z } ) a _ { 1 } ( z ^ { \prime } , \bar { z } ^ { \prime } ) \rangle = - { \frac { 1 } { \pi } } \partial ~ K _ { 0 } ( d ^ { 2 } m ^ { 2 } ( { \bf p } ) ) ~ ,
\lambda _ { + } = \frac { 1 + i \omega } { 2 } , \quad \lambda _ { - } = \frac { 1 - i \omega } { 2 }
1 + \frac { 2 \pi \Lambda G } { 9 \alpha } > 0
e ^ { - K } = \pm \frac { W ^ { 3 / 2 } } { \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \omega _ { 3 } } \ ,
{ \cal { Z } } ( \tau { } ) = \sum _ { m } \int { \cal { D } } \Omega { \cal { D } } V { \mathrm { V o l } } _ { Z M } { \mathrm { d e t } } ( d _ { 2 } )
| 0 ( t ) \rangle _ { e , \mu } \equiv G _ { \theta } ^ { - 1 } ( t ) | 0 \rangle _ { 1 , 2 } \, ,
\Gamma _ { i j } ^ { k } = ( \partial _ { i } G _ { j { \bar { l } } } ) G ^ { { \bar { l } } k } \,
{ \cal { F } } : \ < g > = \int d ^ { 3 } \theta \ g ( { \vec { \theta } } ) f ( { \vec { \theta } } , t ) \,
\tilde { S } _ { r , \Lambda } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ; g ) = - 2 i \delta ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) H _ { I } ^ { ( r ) } ( t _ { 1 } ) + \tilde { S } _ { r , \Lambda } ^ { \prime } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ; g ) ,
\nu _ { R } ( E ) = \int _ { \mu } ^ { E - \mu _ { Q } } \nu ( E ^ { \prime } ) \nu _ { Q } ( E - E ^ { \prime } ) d E ^ { \prime } ~ ~ ~ .
Z _ { \mathrm { F } } [ A ] = \int \! D { \bar { \psi } } D \psi e ^ { - \int \! d ^ { 2 } x \, [ \psi _ { 1 } ^ { \dagger } i \partial \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ^ { \dagger } i { \bar { \partial } } \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } ^ { \dagger } A \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ^ { \dagger } { \bar { A } } \psi _ { 2 } ] } \; ,
E q ( 5 . 2 ) T _ { R } \; \sim \; 5 \left( \frac { m } { \mathrm { T e V } } \right) ^ { 3 / 2 } \; \; \; \mathrm { k e V } .
P _ { n } ^ { p } = \frac { ( - 1 ) ^ { p + n } } { n ! ( p - n ) ! } \mathop { { \prod } ^ { \prime } } _ { k = 0 } ^ { p } ( N - k ) , \quad n = 0 , . . . , p ,
T _ { { \cal G } } ( - t , - t ^ { - 1 } ) = \sum x ^ { i ( B ) } x ^ { - e ( B ) }
\left. \begin{array} { c c c } { S _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \nonumber } \\ { S _ { \Delta } \nonumber } \\ { \tilde { S } _ { \Delta } } \\ \end{array} \right\} \varpi = ( \varpi + 2 ) \left\{ \begin{array} { c c c } { S _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \nonumber } \\ { S _ { \Delta } \nonumber } \\ { \tilde { S } _ { \Delta } } \\ \end{array} \right. .
\Phi _ { 0 } ( Z ) = \delta ^ { - 1 } \alpha , \qquad \Phi _ { 0 } ( Z ) = \alpha ^ { - 1 } \delta
b ( k ) b ^ { \dagger } ( l ) - q _ { e } b ^ { \dagger } ( l ) b ( k ) = \delta ( k - l ) ,
{ \cal L } = - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } f ^ { 2 } \, \partial _ { \mu } \pi _ { r } \, \partial ^ { \mu } \pi _ { r } - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } f ^ { 2 } \lambda \left( \pi _ { r } \pi _ { r } - N \right) \; ,
E _ { \mathrm { q u a s i l o c a l } } = E _ { + } - E _ { - } = \left( r \left[ 1 - \left| r , _ { y } \right| \right] \right) _ { y = y _ { + } } - \left( r \left[ 1 - \left| r , _ { y } \right| \right] \right) _ { y = y _ { - } } .
I = 2 \left( { \frac { \alpha } { \operatorname { s i n h } ^ { 2 } A + \operatorname { s i n } ^ { 2 } { \frac { \gamma } { 2 } } } } - { \frac { \operatorname { s i n h } { \frac { 2 A } { \alpha } } } { \operatorname { s i n h } { 2 A } } } ~ { \frac { 1 } { ( \operatorname { s i n h } ^ { 2 } { \frac { A } { \alpha } } + \operatorname { s i n } ^ { 2 } { \frac { [ \gamma ] } { 2 \alpha } } ) } } \right) ~ ~ .
W ( x ) = \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - a ^ { 2 } x ,
Z _ { M } = \sum _ { j _ { s } } \int d U _ { f } \Pi _ { s } \left( 2 j _ { s } + 1 \right) T r _ { j _ { s } } U _ { s }
f ( x , p ; t ) = \int \! d a d b ~ \tilde { f } ( a , b ) ~ e ^ { i a x ( - t ) } e ^ { i b p ( - t ) } ,
\{ \langle n | O | p \rangle \: | n \in \Sigma _ { s } ^ { \prime } \}
{ \cal L } ^ { ( 0 ) } ( B ) = - { \frac { 1 } { 2 } } B ^ { 2 } \; ,
\ddot { h } = - \nabla _ { h } \Phi
\langle 0 | T _ { \mu \nu } | 0 \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ R e n . } } = \mathrm { d i a g } \left[ \langle 0 | T _ { t t } | 0 \rangle , 0 , \langle 0 | T _ { l l } | 0 \rangle , \langle 0 | T _ { l l } | 0 \rangle \right] .
\frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { \cal M } R \wedge R = \frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { { \cal M } } \mathrm { d } C = \frac { 1 } { 2 4 . 8 \pi ^ { 2 } } \, \int _ { \partial { \cal M } } C \, ,
\quad | A _ { 1 } | ^ { 2 } + | A _ { 2 } | ^ { 2 } - | B _ { 1 } | ^ { 2 } - | B _ { 2 } | ^ { 2 } = 0 .
e ^ { \phi _ { c } ^ { 6 } } = - { \frac { v _ { a } } { \tilde { v } _ { a } } }
\mathrm { \boldmath ~ \pi ~ } = \mu ^ { - 1 } \, { \bf p } \; .
S = \int _ { \mathcal M } \left( { \frac { i } { 2 } } \left[ \overline { \psi } \gamma ^ { a } \nabla _ { a } \psi - \overline { { ( \nabla _ { a } \psi ) } } \gamma ^ { a } \psi \right] - m \overline { \psi } \psi \right) \, ,
\Psi \sim \operatorname { e x p } \left\{ - \frac { 1 } { \hbar } \int _ { a } ^ { x } \sqrt { 2 ( v - e ) } \right\} \sim \operatorname { e x p } \left\{ - \frac { 1 } { \hbar } x ^ { \frac { 5 } { 2 } } \right\}
\ddot { R } ^ { k } ( t ) = \omega ^ { k l } \dot { R } ^ { l } ( t ) + O ( \dot { R } ^ { k } \dot { R } ^ { k } ) \; \; .
{ \cal L } \rightarrow { \cal L } + \frac { \alpha N } { 1 6 \pi ^ { 2 } } F \tilde { F } .
\partial _ { 0 } { \cal E } + { \bf d i v } { \bf S } = 0 \, .
\phi ( x , y ) = \lambda ^ { 2 s } \, \phi ( \lambda x , \lambda y )
S _ { B } [ A ] \; = \; i \, \frac { 1 } { \eta } \, S _ { C S } [ A ] \; + \; R [ \widetilde { F } ] + \frac { i } { \theta } \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y j _ { \mu } ^ { T } ( x ) { \mathcal K } _ { \mu \nu } ( x - y ) j _ { \nu } ^ { T } ( y ) \; ,
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } { \it i } \overline { { \psi } } { \Gamma } ^ { \nu } \hspace { - . 1 5 c m } \stackrel { \; \leftrightarrow } { \partial } _ { \! \nu } \hspace { - . 1 c m } { \psi } - \overline { { \psi } } M { \psi } \quad ,
m _ { H } \approx 2 7 2 \, \lambda ^ { 1 / 4 } \ \mathrm { G e V } .
M _ { p _ { e } , q _ { m } } = { \frac { 2 \pi } { g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } } } { \frac { q _ { m } u } { \operatorname { c o s } \xi } } = u \sqrt { \left( \frac { 2 \pi q _ { m } } { g _ { Y M } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + p _ { e } ^ { 2 } } \, .
{ \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d \tau ^ { 2 } } } = \operatorname { s i n } \varphi \ ,
\hat { I } _ { 1 2 } = - \frac { 1 } { 9 6 ( 2 \pi ) ^ { 5 } } \hat { I } _ { 4 } \wedge ( \frac { 1 } { 4 } ( \hat { I } _ { 4 } ) ^ { 2 } - X _ { 8 } )
\frac { 1 } { k ^ { 2 } } ( g ^ { \mu \nu } - \frac { \tilde { k } _ { \mu } \tilde { k } _ { \nu } } { \tilde { k } ^ { 2 } } )
\begin{array} { l c r } { q J _ { 1 } J _ { 2 } - q ^ { - 1 } J _ { 2 } J _ { 1 } } & { = } & { ( q ^ { 2 } - q ^ { - 2 } ) J _ { 3 } } \\ { q J _ { 2 } J _ { 3 } - q ^ { - 1 } J _ { 3 } J _ { 2 } } & { = } & { ( q ^ { 2 } - q ^ { - 2 } ) J _ { 1 } } \\ { q J _ { 3 } J _ { 1 } - q ^ { - 1 } J _ { 1 } J _ { 3 } } & { = } & { ( q ^ { 2 } - q ^ { - 2 } ) J _ { 2 } } \\ \end{array}
S _ { \Omega ^ { \prime } , \Omega } x \Omega = x ^ { * } \Omega , \, \, x \in M
a _ { 1 } = - 2 \pi I _ { 2 \alpha } ( 0 ) = - \frac { \pi } { 3 } \left( \frac { \pi } { \alpha } - \frac { \alpha } { \pi } \right) { . }
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi _ { x } \partial ^ { \mu } \phi _ { x } - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 0 } ^ { 2 } \phi _ { x } ^ { 2 } - { \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } ( 1 - c o s ( \beta \phi _ { x } ) ) \equiv { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi _ { x } \partial ^ { \mu } \phi _ { x } - U ( \phi _ { x } ) ,
\langle P ^ { \prime } | J ^ { \mu } ( 0 ) | P \rangle = \bar { u } ( P ^ { \prime } ) \, \Big [ \, F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma ^ { \mu } + F _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) { \frac { i } { 2 M } } \sigma ^ { \mu \alpha } q _ { \alpha } \, \Big ] \, u ( P ) \ ,
f \star g = \operatorname { e x p } \Bigg [ \hbar \Bigg ( \frac { \partial ~ } { \partial q } \frac { \partial ~ } { \partial \tilde { p } } - \frac { \partial ~ } { \partial p } \frac { \partial ~ } { \partial \tilde { q } } \Bigg ) \Bigg ] f ( { \bf x } ) g ( { \bf \tilde { x } } ) \vert _ { { \bf x } = { \bf \tilde { x } } } ,
\Delta { \cal A } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + g ) .
\operatorname { e x p } \left( i p _ { \mu } X ^ { \mu } \right) \rightarrow \hat { v } _ { p } = \hat { h } ^ { k _ { 2 } }
T _ { [ \mu \nu ] } ^ { \ a } = \partial _ { \mu } E _ { \nu } ^ { \underline { { a } } } - \partial _ { \nu } E _ { \mu } ^ { \underline { { a } } }
\eta _ { \mu \nu } = \mathrm { d i a g ( - , + ) }
\langle f , f \rangle = \langle g , g \rangle = 0 .
\Big ( L ^ { \frac { 3 } { 2 } } \Big ) _ { + } = p ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } u \star p - \frac { 2 \kappa } { 2 } u ^ { ( 1 ) } ,
Q _ { a , b } ( \mu , \nu ; N ) = p _ { a , b } ( \mu , \nu ; 0 ; N ) + \sum _ { \lambda = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \lambda } p _ { a , b } ( \mu , \nu ; \lambda ; N ) + \sum _ { \lambda = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \lambda } m _ { a , b } ( \mu , \nu ; \lambda ; N ) .
\vec { A } _ { \mu } ( x ) \! = \! \partial _ { \mu } \vec { n } ( x ) \wedge \vec { n } ( x ) + C _ { \mu } ( x ) \vec { n } ( x ) + \vec { W } _ { \mu } ( x ) ,
{ \cal E } = \frac { { \bf D } ^ { 2 } + { \bf H } ^ { 2 } } { 2 } - \left( { \bf \theta } \cdot { \bf B } \right) { \bf B } ^ { 2 } ,
\frac 1 { \nabla ^ { 2 } } \, \delta _ { \Sigma } ^ { ( 2 ) } ( z - z _ { 0 } ) = - \frac 1 \pi \operatorname { l o g } { \cal E } ( z , z _ { 0 } )
\delta _ { A } \widehat { \phi } \smallskip ( \widehat { x } ) = i [ \widehat { A } \smallskip ,
{ \cal M } = M ( \infty ) = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ r ^ { 2 } \left( { \cal U } ( f , h , u ) + \alpha ^ { 2 } { \cal K } ( f , h , u ) \right) - \eta ^ { 2 } \right] e ^ { - P ( r ) } \ ,
y \sqrt { c } \operatorname { s i n h } \alpha = \operatorname { c o s h } \alpha - \operatorname { c o s h } ( x \sqrt { c } - \alpha ) \; \; , \; \; \; \; \operatorname { t a n h } \alpha \equiv 2 \sqrt { c } \; .
\lambda t K _ { \left| n \right| } ( \mu t ) I _ { \left| n \right| } ( \mu t ) .
g x ( \alpha \cdot q , \xi ) \to \left\{ \begin{array} { c l } { \mathrm { f i n i t e } , } & { \mathrm { f o r } \quad \pm \alpha _ { i } \in \Pi \quad ( \delta \leq 1 / h ) \quad \mathrm { a n d } \ \pm \alpha _ { h } \quad ( \delta = 1 / h ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \\ \end{array} \right.
\dot { G } _ { \pm } + \frac { i } { 2 } \phi ^ { \pm } D _ { \pm } ^ { 2 } G _ { \pm } + \frac { i } { 4 } D _ { \pm } \phi ^ { \pm } D _ { \pm } G _ { \pm } + \frac { 3 } { 4 } i D _ { \pm } ^ { 2 } \phi ^ { \pm } G _ { \pm } = \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 } D _ { \pm } ^ { 5 } \phi ^ { \pm } ~ .
\mathcal { L } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { \psi } ^ { i } \left( \partial \! \! \! \slash + \lambda \sigma \right) \psi ^ { i }
\left\langle \operatorname { e x p } \left( \; 2 \sum _ { b = 1 } ^ { N } \beta ^ { ( b ) } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; t ( x ) \; : \operatorname { c o s } \left( 2 \sqrt { \pi } \varphi ^ { ( b ) } ( x ) \; \right) : _ { Q ^ { W } } \; \right) \right\rangle \; .
\chi _ { a } ( A ) = \varepsilon _ { a b i } \, A _ { b i } ( x ) = 0 \, ,
\omega ( \varepsilon ) = { \frac { e ^ { \beta _ { H } \varepsilon } } { \varepsilon } } ,
G ^ { ( N , M ) } ( z _ { 1 } , S _ { M + 1 } , \cdots , S _ { N } ; z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = 0 .
\varphi \sim A + B \mathrm { s i g n } ( t ) | \vec { k } t | ^ { \epsilon } .
\stackrel { \rightarrow } { x } ( \tau ) = m ^ { - 2 } \stackrel { \rightarrow } { V }
R _ { i j , k l } = \delta _ { i k } \delta _ { j l } ( 1 + \delta _ { i j } ( q - 1 ) ) + \lambda \delta _ { i l } \delta _ { j k } \theta ( i - j ) \quad i , j . . . = 1 . . . n
S = - T _ { ( p - 1 ) } \int d ^ { p } \sigma \sqrt { - \operatorname* { d e t } ( \mathcal { G } _ { \alpha \beta } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } \mathcal { F } _ { \alpha \beta } ) } ,
S _ { p , m } = \prod _ { A < B } \prod _ { I < J } ( z _ { I } ^ { A } - z _ { J } ^ { B } ) ^ { K _ { A , B } } \prod _ { A } \prod _ { I < J } ( z _ { I } ^ { A } - z _ { J } ^ { A } ) ^ { K _ { A , A } - 1 }
H _ { L C } = \int _ { 0 } ^ { l } \mathcal { H } _ { L C } = \int _ { 0 } ^ { l } d \sigma \, \frac { G _ { + - } } { 2 \, \pi _ { - } } \left( G ^ { i j } \pi _ { i } \pi _ { j } + \frac { 1 } { ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } } G _ { i j } Z ^ { i \, \prime } Z ^ { j \, \prime } \right)
\frac { d \, \operatorname { l o g } \widetilde \mathcal { P } _ { \{ N _ { \nu _ { \alpha _ { 1 } } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } , \dots , \, N _ { \nu _ { \alpha _ { n } } } ^ { ( \alpha _ { n } ) } \} } ^ { \Lambda , \lambda _ { \Lambda } } } { d \, N _ { \nu _ { \alpha _ { j } } } ^ { ( \alpha _ { j } ) } } \quad = \quad \frac { \int _ { G } d \mu ( g ) \bar { \chi } ^ { ( \Lambda ) } ( g ) [ D _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 1 } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } ] ^ { N _ { \nu _ { \alpha _ { 1 } } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } } \cdots [ D _ { \nu _ { n } \nu _ { n } } ^ { ( \alpha _ { n } ) } ] ^ { N _ { \nu _ { \alpha _ { n } } } ^ { ( \alpha _ { n } ) } } \operatorname { l o g } [ D _ { \nu _ { j } \nu _ { j } } ^ { ( \alpha _ { j } ) } ] } { \int _ { G } d \mu ( g ) \bar { \chi } ^ { ( \Lambda ) } ( g ) [ D _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 1 } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } ] ^ { N _ { \nu _ { \alpha _ { 1 } } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } } \cdots [ D _ { \nu _ { n } \nu _ { n } } ^ { ( \alpha _ { n } ) } ] ^ { N _ { \nu _ { \alpha _ { n } } } ^ { ( \alpha _ { n } ) } } } \, .
a _ { M } = { \frac { ( - ) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } M ( M + 1 ) } } { M ! [ ( M - 1 ) ! \ldots 2 \cdot 1 ] ^ { 2 } } } ~ ~ ,
{ \cal H } ( p ) = - 2 i \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } \varepsilon ^ { \alpha \beta \lambda } g _ { \nu \alpha } \frac { \mu ^ { \epsilon } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int { \cal D } q \frac { 1 } { ( p + q ) ^ { 2 } q ^ { 2 } } I _ { \beta \mu \lambda \rho } ( q ) \; ,
\mathrm { T r } _ { N S - R } = \frac { V _ { 0 } } { 2 \pi } \int \d E \, \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { w = - \infty } ^ { \infty } \, \cdots .
R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } R g _ { \mu \nu } = 0
{ \frac { \alpha } { p ( N ) } } \ \left( { \frac { 1 } { c ( N ) } } - 1 \right) \approx { \frac { 2 A _ { 2 } } { p ( N ) ^ { 2 } } } \, .
{ \cal W } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { { \cal Z } ^ { ( 1 ) } N } } \sum _ { R , S } \frac { d _ { R } } { d _ { S } } \operatorname { e x p } \left[ - { \frac { g ^ { 2 } A _ { 1 } } { 2 } } C _ { 2 } ( R ) - { \frac { g ^ { 2 } A _ { 2 } } { 2 } } C _ { 2 } ( S ) \right] \int d U \mathrm { T r } [ U ] \chi _ { R } ( U ) \chi _ { S } ^ { \dagger } ( U ) ,
A _ { p a r e n t } ^ { \mathrm { I V } } = - \frac { T _ { p } } { 2 } \int d ^ { p + 1 } { \xi } \left[ \sqrt { - g } \left( - { \Psi } ^ { ( p + 3 ) / 2 } g _ { i j } h ^ { i j } + ( p + 3 ) { \Psi } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \right) + { \Lambda } \left( { \Psi } - { \Phi } \right) \right] .
F ( z ) \; = \; F ( 0 ) \, + \, \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \, \left\{ \frac { b _ { m } } { z - a _ { m } } + \frac { b _ { m } } { a _ { m } } \right\} \, + \, \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \, \left\{ \frac { b _ { - m } } { z - a _ { - m } } + \frac { b _ { - m } } { a _ { - m } } \right\} \, .
\{ Q ^ { \alpha } , \bar { Q } _ { \beta } \} = - i ( \Gamma ^ { a } ) _ { \beta } ^ { \alpha } P _ { a } - i ( \Gamma ^ { a b c d e } ) _ { \beta } ^ { \alpha } Z _ { a b c d e } ,
\frac { \xi } { \sqrt { 1 - \dot { r } ^ { 2 } } } = \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } - r ( \tau ) ,
\left( A _ { 0 } , A _ { 1 } , \phi , \pi _ { 0 } , \pi _ { 1 } , \pi _ { \phi } \right) \longleftrightarrow \left( \xi _ { 1 } , . . . , \xi _ { 6 } \right) ,
E ( L ) - E _ { 0 } ( L ) = E _ { R } + E _ { L } + M \operatorname { c o s h } \theta \ ,
v _ { e f f } = \left( { \frac { y _ { i } } { y _ { 0 } } } + 1 \right) ^ { 1 / 3 } e ^ { - n } v _ { i } \, .
\Pi _ { \mu \nu \rho \sigma } ^ { r } ( p , q , k ) = \Pi _ { \mu \nu \rho \sigma } ( p , q , k ) - \Pi _ { \mu \nu \rho \sigma } ( p , 0 , 0 )
\frac { t } { d } = \oint \frac { d z } { 2 \pi \imath } U _ { e f f } ^ { \prime } \left( z + \frac { R ( t ) } { z } \right) = \left( \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { d } - \Gamma _ { 2 } \right) R ( t ) - \sum _ { n > 2 } \frac { ( 2 n ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \Gamma _ { 2 n } R ( t ) ^ { n }
w : = \left( \begin{array} { c } { \tilde { x } _ { 1 } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { \tilde { x } _ { n } } \\ { \hat { y } _ { 1 } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { \hat { y } _ { n } } \\ \end{array} \right) \; , \; z : = \left( \begin{array} { c } { \tilde { y } _ { 1 } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { \tilde { y } _ { n } } \\ { \hat { x } _ { 1 } } \\ { . } \\ { . } \\ { . } \\ { \hat { x } _ { n } } \\ \end{array} \right) \; \; .
p _ { \nu } ^ { \prime } T _ { \mu \nu } ^ { S \rightarrow A A } = 2 m i [ T _ { \mu } ^ { S \rightarrow A P } ] - 4 m ( k _ { 3 } + k _ { 2 } ) _ { \alpha } \triangle _ { \alpha \mu } - 4 m ( l _ { 3 } + l _ { 2 } ) _ { \alpha } \triangle _ { \alpha \mu } ,
\sum _ { j = 1 } ^ { n } [ I _ { i j } ] _ { \hat { q } } \, m _ { j } = 2 \operatorname { c o s } \pi \left( \vartheta _ { h } + t _ { i } \vartheta _ { H } \right) \, m _ { i } \; , \quad \hat { q } = e ^ { i \pi s \vartheta _ { H } } \; .
{ \tilde { f } } ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { q \partial _ { y } } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { q } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { q ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \partial _ { y } } \\ { - q \partial _ { x } } & { - q } & { 0 } & { - q ^ { 2 } } & { - \partial _ { x } } & { 0 } \\ \end{array} \right) \delta ( x - y )
W ^ { a } = \frac { 1 } { I E } \big ( | Z | ^ { 2 } H ^ { a } - A ^ { a } A _ { b } H ^ { b } + | Z | ^ { 2 } T ^ { a b } \! A _ { b } \big ) \, ,
\Delta + \bar { \Delta } = \frac { ( m + n k / 4 ) ^ { 2 } } { k } + \frac { ( m - n k / 4 ) ^ { 2 } } { k } \, .
\Delta _ { a } ^ { \! l i n } = - \int \frac { k ^ { \prime } } { 2 l } \, d l - \frac { 1 } { 2 } V \, .
\Sigma _ { - } = a _ { 1 } ( x ) \operatorname { e x p } { ( 3 ( \gamma - 1 ) \tau ) } , ~ ~ \Sigma _ { \times } = a _ { 2 } ( x ) \operatorname { e x p } { ( 3 ( \gamma - 1 ) \tau ) } ,
\left[ \widehat { x } _ { 0 } , \widehat { x } _ { i } \right] = { \frac { i } { \kappa } } \widehat { x } _ { i } \qquad \left[ \widehat { x } _ { i } , \widehat { x } _ { j } \right] = 0
\begin{array} { l l l l l l } { \displaystyle D } & { = 3 } & { : \quad } & { S p ( 4 ; R ) } & { \to } & { O S p ( N ; 1 | R ) } \\ { \displaystyle D } & { = 4 } & { : \quad } & { S U ( 2 , 2 ) } & { \to } & { S U ( 2 , 2 | N ) } \\ { \displaystyle D } & { = 6 } & { : \quad } & { U _ { \alpha } ( 4 ; H ) } & { \to } & { U U _ { \alpha } ( N ; 4 | R ) } \\ \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d k \sqrt { k ^ { 2 } + 4 } \left( \frac { 4 \operatorname { c o s } \rho } { k ^ { 2 } + 4 \operatorname { c o s } ^ { 2 } \rho } - \frac { 4 \operatorname { c o s } \rho } { k ^ { 2 } + 4 } + \frac { 4 c _ { + } } { k ^ { 2 } + 4 c _ { + } ^ { 2 } } - \frac { 4 c _ { + } } { k ^ { 2 } + 4 } \right) ,
\displaystyle { \frac { 8 } { \kappa } } V _ { \mu \nu , \, \alpha \beta } ^ { ^ 2 g h o s t } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; \, p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = - 4 \, p _ { _ 1 \mu } \, p _ { _ 2 \nu } \, \eta _ { \alpha \beta } + 8 \, p _ { _ 1 \beta } \, p _ { _ 2 \nu } \, \eta _ { \alpha \mu } - 2 \, p _ { 1 } \cdot p _ { 2 } \, \eta _ { \alpha \mu } \, \eta _ { \beta \nu } + p _ { 1 } \cdot p _ { 2 } \, \eta _ { \alpha \beta } \, \eta _ { \mu \nu } .
\left( 1 + i \gamma \right) ^ { - 1 } \approx \left( 1 - i \gamma \right) .
{ \cal P } : \quad
( \Delta S ) ^ { 0 } = T r \left[ \left( \begin{array} { l l } { K ^ { \mu } { } _ { \nu } } & { K ^ { \mu } { } _ { F } } \\ { K ^ { F } { } _ { \nu } } & { K ^ { F } { } _ { F } } \\ \end{array} \right) \operatorname { e x p } \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \tilde { \cal R } \right] \ ; \qquad \tilde { \cal R } = \left( \begin{array} { l l } { S _ { \mu \nu } } & { q _ { \mu } } \\ { - \tilde { \partial } q _ { \nu } ^ { T } } & { \tilde { \partial } \tilde { \nabla } } \\ \end{array} \right) \ .
[ \Pi ( { \bf { x } } \sigma ) , \rho ( { \bf { y } } \sigma ^ { ' } ) ] = i \mathrm { ~ } \delta ( { \bf { x } } - { \bf { y } } ) \delta _ { \sigma , \sigma ^ { ' } }
E ^ { ( R ) } = { \frac { n _ { R } } { | G | } } \sum _ { g \in G } \chi ^ { ( R ) } ( g ) U ( g ) ~ ,
E _ { \small C a s i m i r } ^ { \small b u l k } = { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } } \; V \; \hbar c \; K ^ { 4 } \; \left[ { \frac { 1 } { n } } - 1 \right] .
H _ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \, p [ A ^ { \dag } ( p ) A ( p ) - B ^ { \dag } ( p ) B ( p ) ] .
\Omega ^ { J } \equiv ( v _ { i } ^ { J } ) ^ { T } \frac { \partial V ( q ) } { \partial q _ { i } } = 0 ,
\{ Q ^ { + } , Q ^ { - } \} = H _ { n } + k ( R - 1 ) , \quad [ H _ { n } , Q ^ { \pm } ] = \mp 2 k Q ^ { \pm } , \quad [ R , Q ^ { \pm } ] = \pm 2 Q ^ { \pm } , \quad R ^ { 2 } = 1 .
\partial _ { \mu } < T T R > = ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) \cdot \left[ \mathrm { \vspace { 2 e x } \mathrm { 1 } \vspace { 0 e x } } \right] + 3 \cdot ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) \cdot \left[ - \frac { 1 } { 3 } \right] = 0
\frac { \partial g _ { k } } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial h _ { k } } { \partial y _ { j } } \, \, \, ; \, \, \, \frac { \partial h _ { k } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial g _ { k } } { \partial y _ { j } } ,
{ \cal D } [ \partial ] : = 1 + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } } - { \frac { \partial ^ { 4 } } { \gamma ^ { 4 } } } .
Z _ { 0 } ^ { F } ( T , L ) \equiv \operatorname { e x p } \left( \frac { \pi L T } { 6 } \right) .
x \mapsto \omega ( \Xi ) ( x ) , \quad \ x \in { \cal O } ,
\left. \begin{array} { l } { \rho ( 1 ) = 1 } \\ { \rho ( 2 ) = 2 } \\ { \ldots } \\ { \rho ( p ) = p } \\ \end{array} \right\}
S ^ { \mu \nu } \equiv { \frac { \partial L } { \partial \sigma _ { \mu \nu } } } = L ^ { - 1 } [ J ^ { 2 } \sigma ^ { \mu \nu } + { \frac { M J } { { ( { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { 2 } } + a _ { 3 } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } ( a _ { 1 } \sigma ^ { \mu \nu } + ( u ^ { \mu } \sigma ^ { \nu \lambda } - u ^ { \nu } \sigma ^ { \mu \lambda } ) u _ { \lambda } ) ] .
H = 1 + Q _ { 1 } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \mid \vec { y } - 2 \pi n a \hat { z } \mid ^ { 6 } } ,
z ( \varepsilon , \tau ) \; = \; u \: + \: 2 \tau v \: + \: ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } ) \: \tau ^ { 2 } \: q ^ { 2 } \: - \: \frac { q ^ { 2 } } { 4 } \; .
V ( \Phi ) = - m ^ { 2 } \mathrm { T r } [ \Phi ^ { 2 } ] + h ( \mathrm { T r } [ \Phi ^ { 2 } ] ) ^ { 2 } + \lambda \mathrm { T r } [ \Phi ^ { 4 } ] + V _ { 0 }
g \approx 3 - \sqrt 3 - 0 . 9 1 7 7 f _ { 0 } ^ { 2 } \; .
\varepsilon ( p ^ { 0 } ) = \theta ( p ^ { 0 } ) - \theta ( - p ^ { 0 } ) = \frac { p ^ { 0 } } { | p ^ { 0 } | } ,
\tilde { \omega } _ { m a b } = \hat { \omega } _ { m a b } - \frac { i \kappa ^ { 2 } } { 4 } \bar { \psi } _ { c } \gamma ^ { c d } { } _ { m a b } \psi _ { d } .
s p ^ { \mu } = \eta ^ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { \mu } ( P _ { 0 } )
q ^ { ( \frac { L } { 2 } - \frac { r } { N } ) } \sum _ { k = l + 1 } ^ { N } q ^ { - m _ { 0 } } B ^ { ( N ) } ( L , r , l + 1 | k ) = \sum _ { k = l + 1 } ^ { N } B ^ { ( N ) } ( L , r , l | k ) .
[ \Phi ( x ; a _ { 1 } , . . . , a _ { n } ) ] _ { R } = \Phi ( x ; a _ { 1 } , . . . , a _ { n } ) +
Z = { \operatorname* { d e t } } _ { T } ^ { - \frac 1 2 } ( - \Delta ) \times { \operatorname* { d e t } } _ { S } ^ { \frac 1 2 } ( - \Delta ) ,
\Omega ( z ) = \int _ { \c C } d w \rho ( w ) \operatorname { l n } ( z - w )
\mathbf { J } ^ { 2 } = ( \mathbf { J } ^ { 2 } ) ^ { \dagger } = G ( \mathbf { J } ^ { 2 } ) ^ { + } G ,
m ^ { 1 ; 1 ; 9 } , \ m ^ { 1 ; 4 ; 9 } , \ m ^ { 2 ; 6 ; 9 } , \ m ^ { 4 ; 7 ; 9 } , \ m ^ { 7 ; 7 ; 9 } , \ m ^ { 2 ; 3 ; 9 ; 9 } , \dots
E _ { \pm } \approx \pm m e ^ { - \frac { \mu ^ { 2 } } { m } \Delta x } .
M ( S , R ) _ { n } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \\ \end{array} \right) ^ { \otimes ( n - 1 ) } \ ,
\left[ - \left( 1 - \frac { 2 M } { \rho } \right) \frac { d ^ { 2 } } { d \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 ( \rho - 4 M ) ( 2 \rho - 3 M ) } { \rho ^ { 2 } ( \rho - 3 M ) } \frac { d } { d \rho } + \frac { 8 M } { \rho ^ { 2 } ( \rho - 3 M ) } \right] H _ { 1 } ( \rho ) = \lambda H _ { 1 } ( \rho ) ,
G _ { \alpha \beta } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \Sigma _ { \alpha \beta } ( \tau , \lambda ^ { \prime } ) \epsilon ( \lambda ^ { \prime } - \tau ^ { \prime } ) \; d \lambda ^ { \prime }
\gamma _ { 1 } = - \gamma - 1 - \gamma ( - 2 - a - b ) - \delta ( 2 - a / \delta - b / \delta - 2 a - 2 b ) - 9 / 8 8 ( 1 + a + b ) ,
j ^ { m i } \equiv \frac { \delta I _ { S I } } { \delta v _ { m } ^ { i } } , \quad K ^ { m i } \equiv \frac { \delta I _ { S I } } { \delta A _ { m } ^ { i } } .
[ \hat { x } _ { \mu } , \hat { x } _ { \nu } ] = \frac { i } { \kappa } ( a _ { \mu } \hat { x } _ { \nu } - \hat { x } _ { \mu } a _ { \nu } )
G _ { \mu \nu } ^ { 0 } = \frac { \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p _ { \lambda } + \delta _ { \mu \nu } M + p _ { \mu } p _ { \nu } / M } { p ^ { 2 } + M ^ { 2 } } \; , ~ ~ D _ { \mu \nu } ^ { 0 } ( p ) = \frac { \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p _ { \lambda } } { p ^ { 2 } } \; , ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \Gamma _ { \mu \nu \lambda } ^ { 0 } = g \epsilon _ { \mu \nu \lambda }
\left\{ Q _ { a } , Q _ { b } \right\} _ { { \footnotesize P B } } = f _ { a b c } Q _ { c } \; ,
A d j ( S p ( 2 n _ { H } ) ) \to A d j ( U ( k ) ) + A d j ( U ( n _ { H } - k ) ) + 2 ( k , n _ { H } - k )
C _ { 0 } ( k , q ) = < k , q | \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } R ^ { - j } \omega ^ { j s } | \phi > = \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } ( R ^ { j } | k , q > ) ^ { + } \omega ^ { j s } | \phi > .
G ^ { \dagger } = G , \; \; \; \; \; \; \tilde { G } ^ { \dagger } = \tilde { G }
I _ { n } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } d x _ { n } \int _ { 0 } ^ { x _ { n } } d x _ { n - 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { x _ { 2 } } d x _ { 1 } \cdot 1 = \frac { x ^ { n } } { n ! } .
N ^ { \mu \nu } = L ^ { i } n ^ { [ \mu } { } _ { i } X ^ { \nu ] } { } ^ { \prime } = L ^ { * } \eta _ { 1 } ^ { [ \mu } X ^ { \nu ] } { } ^ { \prime } \, .
X ^ { + } = { \frac { * ( 2 { \cal D } X ^ { i } \wedge f ^ { + i } ) } { * ( f ^ { + i } \wedge f ^ { - i } ) } } = { \frac { 1 } { \cal R } } ( { \cal D } _ { - } X ^ { i } f _ { + } ^ { ~ + i } - { \cal D } _ { + } X ^ { i } f _ { - } ^ { ~ + i } )
T ( z ) = L ^ { a b } : J _ { a } ( z ) J _ { b } ( z ) :
R ( b ) = \frac { 4 } { k - 2 } \; \frac { k ( k - 4 ) + k ( k - 2 ) b } { [ k + 2 + ( k - 2 ) b ] ^ { 2 } }
n ! \prod _ { i = 1 } ^ { k } d _ { i } ! { \frac { 1 } { ( n - m ) ! } } .
[ R , M ] = - \mathrm { \frac { i } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } \thinspace { \frac { | \rho | ^ { 2 } \operatorname { c o s } ( \rho \cdot q ) } { \operatorname { s i n } ^ { 2 } ( \rho \cdot q ) } } \thinspace [ \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } q \cdot \hat { H } } , \hat { s } _ { \rho } ] .
l n d e t = \frac { | e \Phi | } { 2 \pi } \operatorname { l n } ( m a ) + R ( m ) ,
B ( 0 ) = B _ { \mathrm { f } } ( 0 ) + B _ { \mathrm { b } } ( 0 ) = 0 ,
H \, { \cal U } = i { \frac { \partial } { \partial t } } \, { \cal U } \, ,
\Sigma _ { \pm } ( q _ { 3 } , \left| { \bf q } \right| ) = - \frac { 1 } { 4 \pi } \operatorname { l n } \left[ \frac { 1 } { 2 m } \left( - \frac { 1 } { 2 } \delta \pm i q _ { 3 } + \frac { \left| { \bf q } \right| ^ { 2 } } { 2 m } \right) \right] \, + \, O \left( \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \right) .
\frac { g _ { Y M } ^ { 2 } N } { J ^ { 3 } } \frac { J ^ { 4 } } { N ^ { 2 } } \frac { g ^ { 2 } N } { J ^ { 2 } }
{ \cal L } _ { n } ( H _ { n } ) = ( - T _ { H _ { n } } \bar { R } _ { H _ { n } } ) \phi ^ { n } .
\fbox { \begin{array} { l l } { ( x y ) ( a x ) = x ( a y ) x ; } & { ( x y ) _ { L } x _ { R } = x _ { L } x _ { R } y _ { L } ; } \\ { ( x a ) ( y x ) = x ( y a ) x ; } & { ( y x ) _ { R } x _ { L } = x _ { L } x _ { R } y _ { R } ; } \\ { ( x a x ) y = x ( a ( x y ) ) ; } & { y _ { R } x _ { L } x _ { R } = x _ { L } ( x y ) _ { R } ; } \\ { y ( x a x ) = ( ( y x ) a ) x ; } & { y _ { L } x _ { L } x _ { R } = x _ { R } ( y x ) _ { L } . } \\ \end{array} }
{ \delta _ { \rho } } { \mathcal { F } _ { D } ^ { 1 } } = { \delta _ { \rho } } { \mathcal { F } _ { D } ^ { 0 } } - \alpha { Q } \oint { d } \hat { s } ( \xi ) \rho ( \xi ) { \partial _ { \hat { n } } } { \hat { G } _ { D } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) + ( { \alpha ^ { 2 } } - \alpha { Q } ) \rho ( \xi ^ { \prime } ) .
D \sum _ { I \neq J } ( - 1 ) ^ { p _ { I } p _ { J } } e _ { J I } \otimes e _ { I J } D ^ { - 1 } = \sum _ { I \neq J } e _ { J I } \otimes e _ { I J }
H ( t ) | n ; t > = E _ { n } ( t ) | n ; t > , ~ ~ < m ; t | n ; t > = \delta _ { m n }
E _ { c } = \frac { 4 k l } { R } \left( k - \frac { r _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) ,
P \sim \operatorname { e x p } \left( - y _ { 0 } ^ { 3 } / M _ { p } ^ { 2 } \ell \right) ,
\tilde { W } [ \eta | t ] = \int _ { \eta _ { 0 } } ^ { \eta ( t ) } \delta \eta ^ { ' \nu } ( t ) \, \tilde { E } _ { \nu } [ \eta ^ { \prime } | t ] ,
\partial _ { z } \partial _ { \bar { z } } \theta = \{ n ( n + 1 ) \eta ^ { 2 } + a \} \theta \, , \quad a \in { \cal R } \, , \quad n = 0 , 1 , 2 , \ldots
C _ { 0 } ^ { o p } = g _ { o } ^ { - 2 } \frac { 1 } { \left( 2 \alpha ^ { ^ { \prime } } \right) ^ { d / 2 } } ,
\alpha ^ { 2 } \partial _ { x ^ { - } } ^ { 3 } g _ { a } ( x ) = 0 ~ ; \alpha \neq 0
J _ { g f } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { J _ { + } } \\ { 1 } & { 0 } \\ \end{array} \right) \quad ; \quad \tilde { J } _ { g f } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { J _ { + } } & { 0 } \\ \end{array} \right) \quad ; \quad g = \left( \begin{array} { c c } { - J _ { + } g _ { 2 2 } } & { - g _ { 2 1 } } \\ { g _ { 2 1 } } & { g _ { 2 2 } } \\ \end{array} \right) .
Z ^ { i n t } ( s ) = \int { \cal D } A _ { \mu } ~ e ^ { - S _ { b o s } ( A ) - i \int d ^ { 3 } x ~ \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } s _ { \rho } } ~ ,
\hat { \Gamma } _ { 0 } \ldots \hat { \Gamma } _ { ( 1 0 ) } = 1
{ \cal L } = - V ( T ) \sqrt { - \operatorname* { d e t } ( g + F ) } { \cal F } ( z ) ,
W _ { \infty } ^ { 3 , D } = { \frac { 1 } { 1 6 } } ( 1 - \gamma ) ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \beta ^ { k } ( k + 1 ) ( k + 3 ) ( k + 5 ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( m ^ { 2 + k } - m ^ { 1 + k } ) \alpha _ { m } ^ { - k - 7 } .
\begin{array} { c } { \left\{ M _ { 1 } , M _ { 2 } \right\} = a M _ { 1 } M _ { 2 } - M _ { 1 } M _ { 2 } a , } \\ { a = \frac 1 2 \left( r - r ^ { * } \right) . } \\ \end{array}
B ( T ) = - \; { \frac { b _ { 2 } ( V , T ) } { [ b _ { 1 } ( V , T ) ] ^ { 2 } } } \; ,
{ \cal H } = { \cal H } _ { a } \otimes { \cal H } _ { A } \otimes { \cal H } _ { c } .
H r ( \tau ) = \frac { k } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \mid \mathrm { s n } [ \frac { \tau } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , \; k ] \mid .
\delta _ { \beta } \left( \alpha \right) = \alpha \wedge \beta = \alpha _ { a b } \cdot \beta _ { c d } \left( \chi ^ { a b } \otimes \chi ^ { c d } \right) A d _ { R }
T \sim \frac { m } { L ^ { p } } \sim \frac { 1 } { g \ell _ { s } ^ { p + 1 } } .
( - 1 ) ^ { | X | | Z | } [ X , [ Y , Z ] ] + ( - 1 ) ^ { | X | | Y | } [ Y , [ Z , X ] ] + ( - 1 ) ^ { | Y | | Z | } [ Z , [ X , Y ] = 0 ,
{ \cal M } _ { b } ^ { u u } = \frac { i g ^ { 4 } } { 2 } [ T ^ { a } T ^ { b } \otimes T _ { a } T _ { b } ] \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \frac { T ( k , p _ { 1 } ) T ^ { * } ( k , p _ { 3 } ) } { w _ { k } - w _ { p } } \right]
\int _ { C } \frac { d \nu \: \nu } { i 4 \sqrt { 2 } \operatorname { s i n } \pi \nu } \left[ J _ { \nu } ( z _ { 1 } ) J _ { - \nu } ( z _ { 2 } ) + J _ { - \nu } ( z _ { 1 } ) J _ { \nu } ( z _ { 2 } ) \right] \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
\zeta _ { 0 } ( \nu ) = - { \frac { \nu \varrho ^ { - 2 \nu } } { \pi } } \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega \int _ { C _ { + } } d z { \frac { 2 z ^ { 2 } } { ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { \nu + 1 } } } \breve { \Psi } ( \omega ; z ) e ^ { i \epsilon z } ~ ~ ~ ,
\Psi = { C } \Psi ^ { \ast } \, .
a _ { \alpha } W _ { i } Z _ { \alpha } ^ { I } Y _ { 0 } ^ { \alpha } + W Z _ { \alpha } ^ { I } Y _ { I } ^ { \alpha }
Q _ { A } + ( \gamma ^ { 6 } \gamma ^ { 7 } \gamma ^ { 8 } \gamma ^ { 9 } ) _ { A } ^ { B } \tilde { Q } _ { B } \nonumber
W _ { ( 1 , 2 \ell , 1 ) } W _ { ( 1 , 1 , Z _ { 2 } ) } W _ { ( 1 , 2 \ell - 1 , 1 ) } W _ { ( 1 , 1 , Z _ { 2 } ) }
V ( z ) = A ^ { 2 } e ^ { - 2 \alpha z } - 2 A e ^ { - \alpha z } \ , \ A , \alpha > 0 \ .
\sigma _ { \pm } = \frac { \tau \pm \sigma } { 2 } \ .
k ^ { u } ( K _ { u v } ) _ { j } ^ { i } = \partial _ { v } P _ { j } ^ { i } + [ p _ { v } , P ] _ { j } ^ { i } ,
\rho _ { 0 } ( \theta ) = \frac { 1 } { \pi } \sqrt { \mu - \frac { 1 } { 4 } \mu ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } ,
C _ { A B C } = \frac { 1 } { 2 4 \pi } \big ( A _ { [ A } ^ { i } \partial _ { B } A _ { C ] } ^ { i } + i \frac { 2 } { 3 } f ^ { i j k } A _ { [ A } ^ { i } A _ { B } ^ { j } A _ { C ] } ^ { k } \big ) .
= g ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \delta _ { \mu \nu } \delta _ { A B } \delta ^ { 4 } ( x - y ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \delta _ { A B } \delta ^ { 4 } ( x - y ) } \\ \end{array} \right)
\Psi , ~ ~ ~ \Phi , ~ ~ ~ \Pi , ~ ~ ~ \Xi , ~ ~ ~ { \cal A } _ { w } , ~ ~ ~ { \cal A } _ { \theta } , ~ ~ ~ { \cal A } , ~ ~ ~ \Delta , ~ ~ ~ \Delta ^ { * } .
C _ { N _ { P + 1 } + \dots + N _ { P + K } } ^ { N _ { P + 1 } } C _ { N _ { P + 2 } + \dots + N _ { P + K } } ^ { N _ { P + 2 } } \dots C _ { N _ { P + K - 1 } + N _ { P + K } } ^ { N _ { P + K - 1 } }
( N _ { c } + \tilde { N } _ { c } , \overline { { N _ { c } + \tilde { N } _ { c } } } ) ( 1 , 1 , 0 , \beta _ { i } ) , \ \ \ i = 1 , 2 , 3
{ \cal D } = \sum _ { i , j } c _ { i , j } \, \frac { ( g ^ { 2 } N ) ^ { i } } { N ^ { 2 j } } ,
{ \cal R } = { \cal R } _ { r } \operatorname { s i n } \eta , ~ ~ ~ \tau = { \cal R } _ { r } ( 1 - \operatorname { c o s } \eta ) .
\left\{ \begin{array} { r c l } { \displaystyle \partial ^ { m } h _ { m } - \frac { 1 } { 2 } \dot { h } ^ { \prime } } & { = } & { 0 , \vspace { 2 m m } } \\ { \displaystyle \partial ^ { n } h _ { m n } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { m } h ^ { \prime } } & { = } & { 0 , \vspace { 2 m m } } \\ { \displaystyle \partial ^ { m } \theta _ { m } - \frac { 1 } { 2 } h ^ { \prime } } & { = } & { 0 . } \\ \end{array} \right.
Z ( { j _ { k } } ) = e ^ { i Z _ { c } ( { j _ { k } } ) }
| \{ m s s \} | = \sum _ { \nu = 0 } ^ { k } { \binom { k } { \nu } } = ( 1 + 1 ) ^ { k } = 2 ^ { k }
E _ { 4 s } = 2 ( Q + Q ^ { - 1 } ) + \xi _ { 1 } + \xi _ { 1 } ^ { - 1 } + \xi _ { 2 } + \xi _ { 2 } ^ { - 1 }
\stackrel { \mathrm { G } } { { \mathcal L } } \, : = \frac { 1 } { 2 m } \left[ ( D _ { \alpha } \overline { { \Psi } } ) D ^ { \alpha } \Psi - m ^ { 2 } \overline { { \Psi } } \Psi \right] \, .
p ( x ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N + 1 } ( x + \nu _ { i } ) \, , \quad q ( x ) = p ( x ) - e ^ { i \theta } / r ^ { N + 1 } = \prod _ { i = 1 } ^ { N + 1 } ( x - x _ { i } ) \, ,
\tau _ { c l } = { \frac { \theta _ { 0 } } { 2 \pi } } + { \frac { 4 \pi i } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } ,
t = ( H ^ { - 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \operatorname { s i n h } ( H \tau ) ; \quad v = ( H ^ { - 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \operatorname { c o s h } ( H \tau ) ; \quad x = r
\begin{array} { l l l } { \langle q _ { i 0 } - Q _ { i 0 } \rangle } & { = } & { 0 \, , } \\ { \langle \dot { q } _ { i 0 } \rangle } & { = } & { 0 \, , } \\ { m \omega _ { i } \omega _ { j } \langle ( q _ { i 0 } - Q _ { i 0 } ) ( q _ { j 0 } - Q _ { j 0 } ) \rangle } & { = } & { k _ { B } T \delta _ { i j } \, , } \\ { m \langle \dot { q } _ { i 0 } \dot { q } _ { j 0 } \rangle } & { = } & { k _ { B } T \delta _ { i j } \, , } \\ { \langle \dot { q } _ { i 0 } ( q _ { j 0 } - Q _ { j 0 } ) \rangle } & { = } & { 0 \, . } \\ \end{array}
i \frac { \partial } { \partial \tau _ { 2 } } < m ^ { \prime } , \bar { m ^ { \prime } } ; \tau _ { 2 } | m , \bar { m } ; \tau _ { 1 } > = \hat { H } ( m ^ { \prime } , \bar { m ^ { \prime } } ) < m ^ { \prime } , \bar { m ^ { \prime } } ; \tau _ { 2 } | m , \bar { m } ; \tau _ { 1 } > .
f = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \sigma } Z .
{ \cal L } _ { e f f } = { \cal L } ^ { ( 2 ) } + { \cal L } ^ { ( 4 ) } + { \cal L } ^ { ( 6 ) } + . . .
{ \bf E } _ { \pm } ( \xi _ { \pm } ) = \mathrm { T } _ { \pm } ( \xi _ { \pm } ) { \bf E } _ { 0 } \mathrm { T } _ { \pm } ^ { \dagger } ( \xi _ { \pm } ) ,
\psi ^ { \prime } ( t , x ) = e ^ { - i e \epsilon ( t , x ) } \psi ( t , x ) \ \ , \ \ A _ { \mu } ^ { \prime } ( t , x ) = A _ { \mu } ( t , x ) + \partial _ { \mu } \epsilon ( t , x ) \ ,
\delta ( f ( x ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { | f ^ { \prime } ( x _ { i } ) | } \delta ( x - x _ { i } )
V _ { A } = T ^ { a } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \, \bigl [ \dot { x } _ { \mu } \varepsilon _ { \mu } - 2 \mathrm { i } \psi _ { \mu } \psi _ { \nu } k _ { \mu } \varepsilon _ { \nu } \bigr ] \mathrm { e x p } [ i k x ( { \tau } ) ]
\Omega : u \rightarrow \ { S _ { \Omega } } \left( u \right) = { { \Omega } ^ { - 1 } } u .
t _ { a } ( M ) - t _ { a } ^ { * } ( M ) = t _ { a } ( M ) ( R - R ^ { * } ) t _ { a } ^ { * } ( M )
- { \cal L } _ { \xi } J ^ { \mu \nu } = \hat { \xi } ^ { \lambda } \partial _ { \lambda } J ^ { \mu \nu } - \partial _ { \lambda } \hat { \xi } ^ { \mu } J ^ { \lambda \nu } - \partial _ { \lambda } \hat { \xi } ^ { \nu } J ^ { \mu \lambda }
\widehat { F } _ { \mu \nu } = F _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 4 } \theta ^ { \rho \sigma } \bigg ( 2 \left\{ F _ { \mu \rho } , F _ { \nu \sigma } \right\} - \left\{ A _ { \rho } , D _ { \sigma } F _ { \mu \nu } + \partial _ { \sigma } F _ { \mu \nu } \right\} \bigg ) + { \cal O } \left( \theta ^ { 2 } \right) .
| q ( x , \xi ) | = | \chi ( x , \xi ) a ( x , \xi ) ^ { - 1 } | \geq C _ { K } ( 1 + | \xi | ) ^ { - m } ,
d s _ { M } ^ { 2 } = g ^ { 4 / 3 } d x _ { 1 1 } ^ { 2 } + g ^ { - 2 / 3 } d s _ { 1 0 } ^ { 2 }
S _ { m a t t e r } = 1 6 \pi \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \; e ^ { 2 ( \sigma - 1 ) \psi } \; L _ { m a t t e r } .
H ^ { ( N ) } ( L , r , l | d , p ) = \sum _ { k = l + p } ^ { N } q ^ { - \sum _ { i = d } ^ { p - 1 } m _ { i } - e _ { d - 1 } C ^ { - 1 } m } B ^ { ( N ) } ( L , r , l + 1 | k ) .
\sigma = 4 \pi g ^ { 2 } M ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \alpha ^ { - 1 } = - \frac { \pi g ^ { 2 } } { 2 M } ,
d _ { \mathrm { e l } } ^ { - 2 } = \rho _ { \mathrm { p o l } } / A _ { 0 } \sim g ^ { 2 } T a ^ { 2 - d } \, .
V ( \phi ) \ = \ < H _ { \mu \nu } ^ { 2 } > \cdot ( 1 - [ \rho ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ] ) ^ { 2 } \ \sim \ \lambda ( 1 - | \phi | ^ { 2 } ) ^ { 2 }
\int _ { \Sigma } ( i ( D g ) \varphi - ( A g + i g ) \Lambda ) \Psi _ { 0 } = \int _ { \Sigma } g ( i D \varphi + C \Lambda - i \Lambda ) \Psi _ { 0 }
V _ { \mu } ^ { s } ( x , p ) = { \pi } ^ { - 4 } \partial _ { \nu } ^ { ( x ) } \int d ^ { 4 } q e ^ { 2 i p . q } { \bar { \psi } } ( x + q ) { \frac { \sigma _ { \mu \nu } } { 2 m } } \psi ( x - q ) .
- \left( 2 s + 1 \right) - \frac { \left( 2 s + 1 \right) ( e \tau ) ^ { 2 } \mathcal { F } } 3 \left[ s ( s + 1 ) \left( g ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right) - 1 \right] \biggl \} ,
\int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \int d ^ { 2 } \xi ^ { \prime } K _ { \xi \xi ^ { \prime } } ^ { t - t ^ { \prime } } e ^ { - \phi ( \xi ) } \left( - \frac { 1 } { 2 } ( \xi ^ { \prime } - \xi ) ^ { a } ( \xi ^ { \prime } - \xi ) ^ { b } \left( \partial _ { a } \phi ( \xi ) \partial _ { b } \phi ( \xi ) - \partial _ { a } \partial _ { b } \phi ( \xi ) \right) \right) \Delta ^ { \prime } K _ { \xi ^ { \prime } \xi } ^ { t ^ { \prime } }
m \epsilon _ { l n } F _ { n 0 } - j _ { l } = 0 ,
i D _ { k } M = [ C _ { k } , M ] = B _ { k l } [ x ^ { l } , M ] + [ \hat { A } _ { l } , M ] \ .
{ \tilde { W } } \equiv W - S _ { 0 } ~ , \quad { \tilde { X } } \equiv X + S _ { 0 } ~ .
\Delta _ { \mu \nu } ( p ) = \frac { 4 \pi } { \kappa } \frac { \mu } { p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) } ( \mu \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p ^ { \lambda } + \delta _ { \mu \nu } p ^ { 2 } - p _ { \mu } p _ { \nu } )
{ \mathrm { T r } } ( \gamma _ { g } ) = - 2 ~ , ~ ~ ~ { \mathrm { T r } } ( \gamma _ { R _ { s } } ) = { \mathrm { T r } } ( \gamma _ { g R _ { s } } ) = 0 ~ .
G _ { \alpha } ^ { ( n ) } \equiv \sum _ { m = 0 } ^ { n } \{ \tau _ { \alpha } ^ { ( n - m ) } , \tilde { H } ^ { ( m ) } \} + \sum _ { m = 0 } ^ { n - 2 } \{ \tau _ { \alpha } ^ { ( n - m ) } , \tilde { H } ^ { ( m + 2 ) } \} _ { ( \eta ) } + \{ \tau _ { \alpha } ^ { ( n + 1 ) } , \tilde { H } ^ { ( 1 ) } \} _ { ( \eta ) } ; \hspace { 0 . 5 c m } n \geq 2 .
\tilde { f } _ { 2 } = \Phi ( x - z _ { 2 } , x - z _ { 2 } )
D _ { \mu } D ^ { \mu } \phi ^ { a } = f _ { \phantom { a } b c } ^ { a } \psi _ { \mu } ^ { b } \psi _ { \mu } ^ { c } .
\delta _ { { \hat { \xi } } _ { 2 } } L [ { \hat { \xi } } _ { 1 } ] = \left\{ L [ { \hat { \xi } } _ { 2 } ] , L [ { \hat { \xi } } _ { 1 } ] \right\} = L [ \{ { \hat { \xi } } _ { 1 } , { \hat { \xi } } _ { 2 } \} _ { \mathrm { \scriptsize ~ S D } } ] + K [ { \hat { \xi } } _ { 1 } , { \hat { \xi } } _ { 2 } ]
U _ { \bf n } ^ { l } ( a ) = U _ { \bf n } a \, , \qquad ( a ) U _ { \bf n } ^ { r } = a U _ { A \bf n } \, .
{ \bf S } = - ( { \bf r } - { \bf q } ) \times m { \bf u } ,
{ \bf W } _ { a a } = - \sum _ { c \neq a } { \mathrm { \boldmath ~ \beta ~ } } _ { a } ^ { * } \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \beta ~ } } _ { c } ^ { * } { \bf w } _ { a c } , \, \, \, \, { \bf W } _ { a b } = { \mathrm { \boldmath ~ \beta ~ } } _ { a } ^ { * } \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \beta ~ } } _ { b } ^ { * } { \bf w } _ { a b } \quad \mathrm { \hspace { ~ 1 c m } ~ i f ~ a \neq ~ b ~ } .
\frac { \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } / 2 t } } { \left( 2 \pi t \right) ^ { D / 2 } } = \int \frac { \mathrm { d } ^ { D } p } { \left( 2 \pi \right) ^ { D } } \; \mathrm { e } ^ { - i p \cdot x - \frac 1 2 p ^ { 2 } t } ,
{ \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \left[ \begin{array} { c } { Q _ { \alpha } } \\ { \tilde { Q } _ { \alpha } } \\ \end{array} \right] , \left[ Q _ { \beta } \ \tilde { Q } _ { \beta } \right] \right\} = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right] M \delta _ { \alpha \beta } + \left[ \begin{array} { c c } { p } & { q / g _ { s } } \\ { q / g _ { s } } & { - p } \\ \end{array} \right] { \frac { { L ( \Gamma ^ { 0 } \Gamma ^ { 1 } ) } _ { \alpha \beta } } { 2 \pi { \alpha ^ { \prime } } } } \ .
S = \int d ^ { d - 1 } x \sqrt { | g | } \ \left[ R + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial \varphi \right) ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } e ^ { - a \varphi } F _ { ( 2 ) } ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left( { \cal D } \phi \right) ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } e ^ { a \varphi } \right] \, ,
w _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { } & { } \\ \end{array} \right)
F _ { \mu \rho } ^ { a } F _ { a \nu } ^ { \; \; \; \; \rho } - { \frac { 1 } { 4 } } g _ { \mu \nu } x F _ { \rho \sigma } ^ { a } F _ { a } ^ { \rho \sigma }
\pm 1 = \frac { 1 } { 2 { \pi } i } \int T r { \cal P } ^ { ( { \pm } 1 ) } d { \cal P } ^ { ( { \pm } 1 ) } { \wedge } d { \cal P } ^ { ( { \pm } 1 ) } .
\zeta _ { \pm } ^ { 1 } ( z ) = N _ { 1 } \left( \begin{array} { c } { z ^ { \frac { M } { 2 } } ( 1 - z ) ^ { - \frac { M } { 2 } } F ( 1 , - 1 , \frac { 1 } { 2 } + M ; z ) } \\ { \pm \frac { i } { \frac { 1 } { 2 } + M } z ^ { \frac { 1 + M } { 2 } } ( 1 - z ) ^ { \frac { M } { 2 } } F ( - \frac { 1 } { 2 } + M , \frac { 3 } { 2 } + M , \frac { 3 } { 2 } + M ; z ) } \\ \end{array} \right)
S _ { s h e l l } \sim ( \sigma _ { a b } ) ^ { 2 } \frac { r ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } L ^ { 2 } \sim \frac { L ^ { 2 } M ^ { 2 } } { r ^ { 2 } ( 1 - 2 M / r ) ^ { 2 } } .
H _ { m n } \equiv F _ { m n } , \, \quad \quad B _ { m } \equiv F _ { 3 m } = - F _ { m 3 } , \,
\delta \vec { \alpha } = { \textstyle \frac 1 2 } \, ( a - F ) \, \delta \theta \, \vec { \alpha } \, , \qquad \delta a = { \textstyle \frac 1 2 } \, ( a - F ) \, \delta \theta \, a \, .
W \to { \frac { m ^ { 3 } N ^ { 2 } E _ { 2 } ( \tau ) } { 9 6 \pi g } } - { \frac { m ^ { 3 } N ^ { 3 } } { 9 6 \pi g q ^ { 2 } ( \tau + k ) ^ { 2 } } } \ .
W [ B , J , \eta ^ { \ast } , \eta ] = \operatorname { l n } Z [ B , J , \eta ^ { \ast } , \eta ] \quad .
\dot { \omega } + e _ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \psi \partial _ { \beta } \Delta \psi = \nu \Delta \omega \ ,
j _ { ( \varphi ) } ^ { \mu i } = \epsilon ^ { i j } \partial _ { j } x ^ { \mu } \quad , \quad j ^ { \alpha i } = ( 1 / 2 ) \epsilon ^ { i j } \partial _ { j } \theta ^ { \alpha } \ ,
\Delta _ { N , 2 } ^ { \mu \nu , \lambda \sigma } = \frac { 1 } { 2 ( p ^ { 2 } - i \epsilon ) } \left( g ^ { \mu \nu } g ^ { \lambda \sigma } + ( g ^ { \mu \nu } n ^ { \lambda } n ^ { \sigma } + n ^ { \mu } n ^ { \nu } g ^ { \lambda \sigma } ) \frac { p ^ { 2 } } { | { \bf p } | ^ { 2 } } + n ^ { \mu } n ^ { \nu } n ^ { \lambda } n ^ { \sigma } \frac { ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { | { \bf p } | ^ { 4 } } \right) .
c _ { l , m } = \eta ( \tau ) ^ { - 3 } \sum _ { - | x | < y \leq | x | } \mathrm { s i g n } ( x ) ~ q ^ { ( k + 2 ) x ^ { 2 } - k y ^ { 2 } }
g ^ { 2 } = - \frac { ( M \mp m _ { 1 } ) ( M \mp m _ { 2 } ) } { ( m _ { 2 } - m _ { 1 } ) ( \mu _ { 1 } I _ { 1 } \pm M I _ { 0 } ) } \, .
S = - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \bar { g } } \left( \bar { R } - \frac { 1 } { 2 } ( \bar { \nabla } \phi ) ^ { 2 } \right)
R _ { \gamma \alpha \beta } ^ { \mu } = \partial _ { \alpha } \Gamma _ { \beta \gamma } ^ { \mu } - \partial _ { \beta } \Gamma _ { \alpha \gamma } ^ { \mu } + \Gamma _ { \alpha \lambda } ^ { \mu } \Gamma _ { \beta \gamma } ^ { \lambda } - \Gamma _ { \beta \lambda } ^ { \mu } \Gamma _ { \alpha \gamma } ^ { \lambda }
\begin{array} { r l } { { \cal L } = } & { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \int \left( - \frac { 1 } { 4 } F _ { m n } F ^ { m n } + \frac { 1 } { 2 } D _ { m } \Phi ^ { a b } D ^ { m } \Phi _ { a b } + \frac { 1 } { 4 } \{ \Phi ^ { a b } , \Phi ^ { c d } \} _ { * } \{ \Phi _ { a b } , \Phi _ { c d } \} _ { * } \right. + } \\ \end{array}
{ } ^ { \gamma \gamma } G _ { 1 2 3 4 } ^ { 4 } = 4 \left\{ \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta D _ { 1 2 } ^ { - 1 } \delta D _ { 3 4 } ^ { - 1 } } + \frac { \delta W } { \delta D _ { 1 2 } ^ { - 1 } } \frac { \delta W } { \delta D _ { 3 4 } ^ { - 1 } } \right\} = - 2 \frac { \delta \; { } ^ { \gamma } G _ { 1 2 } ^ { 2 } } { \delta D _ { 3 4 } ^ { - 1 } } + { } ^ { \gamma } G _ { 1 2 } ^ { 2 } { } ^ { \gamma } G _ { 3 4 } ^ { 2 } .
y _ { H } \equiv \alpha ^ { - 1 } \sqrt { \mu } r _ { + } , \ \ y _ { i } \equiv \alpha ^ { - 1 } { { \tilde { q } } _ { i } } \ , ( i = 1 , 2 , 3 ) \ ,
\left\langle { { \xi } \left\vert { \xi ^ { \prime } } \right\rangle } \right. = { \frac { \left( { 1 - { \vert \xi \vert } ^ { 2 } } \right) ^ { K } \left( { 1 - { \vert \xi ^ { \prime } \vert } ^ { 2 } } \right) ^ { K } } { \left( { 1 - \xi ^ { * } \xi ^ { \prime } } \right) ^ { 2 K } } } \ ,
S = \frac { 1 } { 4 \ell _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x ~ a ^ { 2 } ~ \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } h \partial _ { \nu } h ,
{ \frac { d ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { \infty } } { d { \rho ^ { * } } ^ { 2 } } } - \left[ { \frac { 3 } { 4 } } - \mu \right] { \frac { \rho ^ { 2 } } { R ^ { 4 } } } \tilde { \psi } _ { \infty } = 0 .
\begin{array} { l l l } { U ( 3 ) } & { \longrightarrow } & { U ( 5 ) / U ( 2 ) } \\ \end{array}
\zeta ( z , a ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { z } } \, \, \, \, a ^ { 2 } > 0 ,
k = \pm \omega \frac { \sqrt { 1 + B ^ { 2 } - E ^ { 2 } } \mp E B } { 1 - E ^ { 2 } } \, ,
\lambda _ { m } ^ { ( n - p - 1 ) } = \lambda _ { m } ^ { ( p ) }
\int [ d \bar { \psi } ] [ d \psi ] \operatorname { e x p } \left\{ - \int \bar { \psi } D \psi d x \right\} = \prod _ { n } \lambda _ { n } = { \tt d e t } D ,
( t \partial _ { z } + z ^ { - 1 } ( D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { + } D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { - } - 2 \jmath _ { 0 } D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { 0 } ) ) - ( \tilde { J } ^ { + } ( z ) D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { - } + 2 \tilde { J } ^ { 0 } ( z ) D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { 0 } + \tilde { J } ^ { - } ( z ) D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { + } )
( i d \otimes \pi _ { - } ) \delta _ { V } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ^ { j } ( \xi , \eta ) ) = \sum _ { k } { \cal D } ( A _ { 2 } , D _ { 2 } ) _ { k } ^ { j } \ ( i d \otimes \pi _ { - } ) \Delta ( x _ { 2 } ^ { k } ( \xi , \eta ) ) .
P ^ { a } = { \frac { 1 } { 2 } } \pi ^ { 2 } | \phi _ { 0 } | ^ { 2 } \; \zeta ^ { a } .
\sigma _ { q } ( X _ { i } + a ) = \sum _ { r = 0 } ^ { q } \left( \begin{array} { c } { p - q + r } \\ { p - q } \\ \end{array} \right) a ^ { r } \sigma _ { q - r } ( X _ { i } )
\theta _ { s } ( \sum ( x _ { i } - y _ { i } ) / 2 + z - w ) \prod _ { I } \theta _ { s , h _ { I } } ( \sum ( x _ { i } + y _ { i } ) / 2 - \sum u _ { i , I } ) ~ .
L _ { m } ^ { ( g / p ) } \equiv L _ { m } ^ { ( g ) } - L _ { m } ^ { ( p ) }
\partial ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { a } \left( x \right) + B ^ { a } \left( x \right) = 0 ,
\frac { d \Phi } { d r } = - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \ell ( r ) ^ { \Lambda \Sigma } \, \mathrm { I m } { \cal N } _ { \Lambda \Sigma | \Gamma \Delta } \, f _ { ~ ~ A B } ^ { \Gamma \Delta } \, \frac { e ^ { U } } { r ^ { 2 } } \, .
\hat { B } _ { 1 q _ { + } } ( \omega ) = { \frac { 2 \operatorname { s i n h } \Bigl ( ( \nu - q _ { + } ) { \frac { \omega } { 2 } } \Bigr ) \operatorname { c o s h } \Bigl ( ( \nu - 1 ) { \frac { \omega } { 2 } } \Bigr ) } { \operatorname { s i n h } ( { \frac { \nu \omega } { 2 } } ) } } \, .
- \left[ J ^ { 1 } ( x ) \right] _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } = \left[ ( / \hspace { - 0 . 5 e m } \partial \phi + U ) \gamma ^ { 1 } \psi - ( - / \hspace { - 0 . 5 e m } \partial \phi + U ) \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 3 } \psi \right] _ { L / 2 } = \left. ( 1 + \gamma _ { 3 } ) ( / \hspace { - 0 . 5 e m } \partial \phi + U ) \gamma ^ { 1 } \psi \right| _ { L / 2 } .
J = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { A } & { 1 } \\ \end{array} \right) ,
a _ { 1 } \, = \, b _ { 2 } \, = \, - \, 1 \; \; ; \; \; a _ { 2 } \, = \, b _ { 1 } \, = \, 1 \; \; ; \; \; a _ { 3 } \, = \, b _ { 3 } \, = \, 0 \; \; ,
C ( X ) = c _ { i } ^ { } \, \psi _ { i } ^ { } = c _ { i } ^ { } \, v _ { i } ^ { 1 / 2 } \, \psi _ { i } ^ { - } .
g _ { \mu \nu } \partial _ { n } X ^ { \nu } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } B _ { \mu \nu } \partial _ { s } X ^ { \nu } | _ { \partial \Sigma } = 0 ,
\Phi ( x ) = \left( \begin{array} { c } { G _ { \alpha } ^ { \beta } ( x ) } \\ { \Psi _ { \alpha } ( x ) } \\ \end{array} \right)
\Lambda _ { \infty } R = e ^ { a ( \infty ) } \Lambda _ { \overline { { M S } } } R = e ^ { \gamma _ { E } } r / \sqrt { 6 }
\left. \left( \begin{array} { c c c } { \partial \beta _ { g } / \partial g } & { \partial \beta _ { g } / \partial h } & { \partial \beta _ { g } / \partial f } \\ { \partial \beta _ { h } / \partial g } & { \partial \beta _ { h } / \partial h } & { \partial \beta _ { h } / \partial f } \\ { \partial \beta _ { f } / \partial g } & { \partial \beta _ { f } / \partial h } & { \partial \beta _ { f } / \partial f } \\ \end{array} \right) \right| _ { g = g _ { \ast } , h = h _ { \ast } , f = f _ { \ast } }
\mathrm { c } = \frac { \theta } { n } ,
{ \cal K } ^ { + 4 } = \mathrm { T r } \left( [ \tilde { q } ^ { + } , q ^ { + } ] [ \tilde { q } ^ { + } , q ^ { + } ] \right) \, .
\theta _ { \mu } \, \to \, \theta _ { \mu } - i { \tilde { \phi } } ^ { * } \partial _ { \mu } { \tilde { \phi } }
A _ { i } = { \frac { \Phi } { 2 \pi } } \epsilon _ { i j } { \frac { x ^ { j } } { { \vert x \vert } ^ { 2 } } }
h : V _ { n } \mapsto V _ { n } \ , \ n = 0 , 1 , 2 , \ldots
c ^ { 2 } M _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } G ^ { 2 } > 0 ,
S _ { 1 } = U \qquad S _ { 2 } = D | _ { \lambda = 1 } \ ,
h _ { c l } = \vec { p } ^ { ~ 2 } / 2 m + V ( \vec { r } )
\begin{array} { r l } { \displaystyle Z _ { N } ( \vartheta ) } & { = 2 N \operatorname { a r c t a n } \displaystyle \frac { \operatorname { s i n h } \vartheta } { \operatorname { c o s h } \Theta } + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } \chi ( \vartheta - h _ { k } ) - 2 \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } } \chi ( \vartheta - y _ { k } ) - } \\ \end{array}
\hat { x } ^ { + } ( \hat { x } ^ { - } + \frac { m } { \lambda ^ { 3 } x _ { 0 } ^ { + } } ) + \frac { \kappa } { 4 \lambda ^ { 2 } } = 0 .
\sum _ { n } \longrightarrow \int d n = \frac { L } { 2 \pi } \int d k
B _ { \mu } = A _ { \mu } = - 3 G _ { \mu } ^ { 0 } ,
\{ \{ F , G \} , H \} = \sum I _ { A B } I _ { C D } \int _ { \Omega } D _ { I } { \frac { \partial h } { \partial \phi _ { B } ^ { ( J ) } } }
\vec { \nabla } \cdot \vec { E } = g \vec { \nabla } f \cdot \vec { E } \ ,
\partial _ { \bar { z } } T _ { 4 } = \partial _ { z } \Theta _ { 2 } \ ,
{ \cal S } _ { ( - 1 ) } = { \cal S } _ { \mathrm { c u b i c } } + { \cal S } _ { \mathrm { q u a r t i c } }
\int \prod _ { i } d Y _ { i } \delta ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } w _ { i } Y _ { i } - t ) e ^ { - \sum _ { i } \mu _ { i } Y _ { i } } \ \stackrel { Y _ { i } \rightarrow Y _ { i } + l n \mu _ { i } } { \longrightarrow } \int \prod _ { i } d Y _ { i } \delta ( \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } w _ { i } Y _ { i } - t ^ { \prime } ) e ^ { - \sum _ { i } Y _ { i } } ,
h ( \tau ) = ( g _ { s } M \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } 2 ^ { 2 / 3 } \varepsilon ^ { - 8 / 3 } \int _ { \tau } ^ { \infty } d x { \frac { x \operatorname { c o t h } x - 1 } { \operatorname { s i n h } ^ { 2 } x } } ( \operatorname { s i n h } 2 x - 2 x ) ^ { 1 / 3 } ,
\delta { \cal L } _ { \pm } = J _ { \pm i } \dot { \eta _ { i } }
P \sim \operatorname { e x p } \Bigl ( - { \frac { 3 M _ { P } ^ { 4 } } { 8 V ( \phi ) } } \Bigr ) \ ,
\mu = A _ { 1 } E ( a , x ) + A _ { 2 } E ^ { * } ( a , x ) ,
f ( - 2 p )
g _ { 1 } ( K , \mu ) = { \frac { 1 } { 2 } } \, { \frac { u _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ( \mu ) } { ( K + \sqrt { K ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } ) } } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { K + \sqrt { K ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } { C _ { 1 } ( \mu ) } } \, ,
V _ { F } ^ { ( d i v ) } ( H ) = - \frac { N } { 6 4 \pi ^ { 2 } \epsilon } \left( m _ { t } ( H ) ^ { 4 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 k } { R } + m _ { t } ( H ) \right) ^ { 4 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( - \frac { 2 k } { R } + m _ { t } ( H ) \right) ^ { 4 } \right)
\tilde { \Gamma } _ { 3 } = - \frac { \lambda ^ { 3 } } { 6 4 \pi ^ { 3 } } \mathrm { l n } \left( T \right) .
f _ { k } ^ { ( D ) } ( \Omega ^ { ( { D } ) } ) = - \Gamma _ { { D } } ( k ) \, \frac { 1 } { 1 / \lambda + { \mathcal G } _ { { D } } ^ { ( + ) } ( { \bf 0 } ; k ) } \; ,
\tilde { \Lambda } _ { S U } ^ { 2 N _ { c } ^ { \prime } - 2 N _ { f } } = ( \mu ^ { - 1 } a ^ { 2 } ) ^ { 2 N _ { f } - 2 N _ { c } } \tilde { \Lambda } ^ { \prime 4 ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) - 2 ( N _ { f } + \tilde { N } _ { c } ) } .
\left( , \right) = \left( , \right) _ { 1 } + \left( , \right) _ { 2 } .
E ( \alpha = 0 , n , \omega , \beta ) = \frac { 2 \omega + 3 } { 2 \omega + 4 } E ( \alpha = 0 , n , \omega = \infty , \beta ) \ . \
{ \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { d e g } ( \phi _ { i } ) = ( 1 - g ) ( d - 3 ) + n + \int _ { \Sigma _ { g } } x ^ { * } ( c _ { 1 } ( X ) )
( 2 \pi { \bar { N } } \dot { \xi } ^ { 2 } ( s ) ) ^ { - 1 } { \cal D } ^ { \mu } ( s ) F _ { \mu } [ \xi | s ] = - [ { \cal D } ^ { \mu } ( s ) , { \cal D } ^ { \nu } ( s ) ] L _ { \mu \nu } [ \xi | s ] .
x ^ { D } R ^ { A } { } _ { B C \bar { D } } = - g ^ { A E } g _ { E B C } \ .
d s ^ { 2 } = ( d x ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } , \quad 0 \le x ^ { 0 } \le r ,
U _ { \mathrm { A P } } ^ { \mathrm { b f } } ( \vec { x } ; C ) = e ^ { - \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } U _ { \mathrm { A P } } ^ { \mathrm { b f } } ( D ( e ^ { \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } ) \cdot \vec { x } ; e ^ { \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } C e ^ { - \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } ) e ^ { \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } }
\Delta E _ { \mathrm { u p } } = \frac { 1 } { T ^ { ( 0 ) } } \frac { 4 e ^ { S ^ { ( 0 ) } } \operatorname { t a n } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \phi _ { \alpha } + \phi _ { \gamma } ) + 4 e ^ { S ^ { ( 0 ) } } } { 4 e ^ { 2 S ^ { ( 0 ) } } \operatorname { t a n } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \phi _ { \alpha } + \phi _ { \gamma } ) - 1 } ,
q _ { i + 1 } = { \frac { 1 } { r _ { i } } } = \operatorname { e x p } - x _ { i } , \quad r _ { i + 1 } = r _ { i } [ q _ { i } r _ { i } - \ddot { \mathrm { l n } r _ { i } } ]
y ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 S } ( x - x ^ { g } ) + u ^ { 2 }
\sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty \prime } { \frac { e ^ { i \pi n _ { 1 } ( \alpha - 2 \sigma ) } } { n _ { 1 } \mathrm { S i n } ( \pi n _ { 1 } \alpha ) } } \quad .
\left( \frac { \sqrt { 2 } { \bf S } \cdot { \bf A } _ { 0 } } { k } \right) \phi _ { E \, \pm k \, m } = - \left( E + \frac { 1 } { 2 k ^ { 2 } } \right) ^ { \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } } \phi _ { E \, \mp k \, m } .
\left. \frac { \partial } { \partial \zeta _ { N } } T ( \zeta _ { 1 } , \ldots , \zeta _ { N } ) \right| _ { \zeta _ { 1 } , \ldots , \zeta _ { N } = 1 } \propto H _ { \mathrm { \scriptsize ~ X Y Z } } + \mathrm { c o n s t . } .
\{ \bar { \mathcal V } ( x ) , \Phi ( x ^ { \prime } ) \} = ( \Phi ( x ) + ( \bar { h } - 1 ) \Phi ( x ^ { \prime } ) ) \, \delta ^ { \prime } ( x - x ^ { \prime } ) + \ldots .
\delta z ^ { M } e _ { M } ^ { \alpha q } \equiv \kappa ^ { \underline { \beta } } ( z ) v _ { \underline { \beta } } ^ { ~ \alpha q } .
M _ { N } ^ { 2 } ( a ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { ( n _ { 1 } - a _ { 1 } ) ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { ( n _ { 2 } - a _ { 2 } ) ^ { 2 } } { L _ { 2 } ^ { 2 } } ,
S _ { \mathrm { Y M } } = - { \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } } \int _ { \cal M } d ^ { 2 } x \sqrt { g } g ^ { a c } g ^ { b d } \mathrm { T r } ( F _ { a b } F _ { c d } ) ,
\pi ( x ) = { \frac { \partial { \cal L } _ { \sigma } } { \partial \partial _ { + } \psi ( x ) } } = i \bar { \psi } \gamma ^ { + } = \left( \begin{array} { l l } { \psi _ { R } ^ { * } } & { \psi _ { L } ^ { * } } \\ \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { i \sqrt { 1 + s } } & { 0 } \\ { 0 } & { i \sqrt { 1 - s } } \\ \end{array} \right) .
\sum _ { i , j , k , l = 1 } ^ { h } a _ { i j } ^ { p } A _ { i k } A _ { j l } \overline { a } _ { k l } ^ { q } = \sum _ { i , j , k , l , m , n = 1 } ^ { h } b _ { i j m } ^ { p } A _ { i k } A _ { j l } A _ { m n } \overline { b } _ { k l n } ^ { q } .
\left( ( p + k ) \: { \cal { B } } \: C _ { n - 1 } \: { \cal { B } } \cdots { \cal { B } } \: C _ { 1 } \: { \cal { B } } \: ( p - k ) \right) ( q , y ) \; = \; ( p + k ) ( q ) \: F _ { n } ( q ) \; \; \; .
\partial _ { \alpha } Y ^ { 2 5 } = \epsilon _ { \alpha \beta } \partial ^ { \beta } X ^ { 2 5 } .
y = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { q _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { q _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { q _ { 3 } } \\ { q _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ \end{array} \right)
\frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \kappa \lambda \sigma \alpha } \partial ^ { \kappa } \omega ^ { \sigma \lambda } \equiv D _ { \alpha } = \left( \partial _ { \alpha } h _ { \beta } ^ { \beta } - \partial _ { \beta } h _ { \alpha } ^ { \beta } \right) \ .
Q _ { 0 } ^ { R , L } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C ^ { R } , C ^ { L } } d z j ( z ) _ { 0 } \ , R ^ { R , L } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C ^ { R } , C ^ { L } } d z r ( z ) \ .
K = i \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda ^ { \prime } \; s e ^ { i \lambda ^ { \prime } ( \pi ^ { \prime \prime } - \pi ^ { \prime } ) } e ^ { - i [ s \lambda ^ { \prime } ( \gamma ^ { \mu } P _ { \mu } ^ { \prime } - m ) + { \frac { i } { s } } ( { \bar { \eta } } ^ { \prime \prime } - { \bar { \eta } } ^ { \prime } ) ( \eta ^ { \prime \prime } - \eta ^ { \prime } ) ] } \delta ^ { 4 } ( P ^ { \prime \prime } - P ^ { \prime } ) \, .
\epsilon ^ { i j } \nabla _ { i } ^ { ( p , k ) } { \cal A } _ { ( p , k ) j } = - \sum _ { ( p ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) \neq ( p , k ) } \beta _ { p p ^ { \prime } } \delta ^ { 2 } ( { \bf r } _ { k } ^ { ( p ) } - { \bf r } _ { k ^ { \prime } } ^ { ( p ^ { \prime } ) } ) \, .
\delta \alpha _ { 3 } + \gamma \alpha _ { 2 } = \partial _ { \mu } \left( - f _ { a b c } \eta ^ { * \mu } \eta ^ { a } \eta ^ { b } \eta ^ { c } \right) .
\psi _ { l } \left( z \right) \psi _ { l } ^ { \dagger } \left( w \right) \sim \left( z - w \right) ^ { - 2 \Delta _ { l } } \left[ 1 + \frac { 2 \Delta _ { l } } { c _ { p } } \left( z - w \right) ^ { 2 } T _ { p } \left( w \right) + O \left( z - w \right) ^ { 3 } \right]
V ( T ) = \sqrt { 2 } \tau _ { p } e ^ { - { \frac { \kappa T ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { \prime } } } } \ ,
+ q ( { \tilde { d } } - 1 ) a _ { 1 } b _ { 1 } + r ( { \tilde { d } } - 1 ) b _ { 1 } f _ { 1 } + r q f _ { 1 } a _ { 1 } + \frac { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { h ^ { 2 } } { 4 } = 0 ;
r = \frac { \alpha } { \beta } \vert \operatorname { s i n } \beta \left( \sigma - \sigma _ { 0 } \right) \vert
\begin{array} { l l } { f ( \psi ) = 1 + \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \sum _ { r = 1 } ^ { N } m _ { r } ^ { 2 } ( \psi _ { r } ) ^ { 2 } + O ( \psi ^ { 3 } ) } & { \mathrm { w i t h ~ \frac { m _ { r } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ~ \equiv ~ \frac { 1 } { 2 } ~ \partial _ { r } ~ \partial _ { r } ~ f ~ | _ { \psi ~ = 0 } ~ } . } \\ \end{array}
g _ { z \overline { { z } } } = \tau _ { 2 } \eta ^ { 2 } \overline { { \eta } } ^ { 2 } \prod _ { i } ( z - z _ { i } ) ^ { - 1 / 1 2 } \prod _ { i } ( \overline { { z } } - \overline { { z } } _ { i } ) ^ { - 1 / 1 2 } ~ .
\Delta ( A ) = A _ { 1 } K A _ { 2 } , \hspace { 7 m m } \Delta ( B ) = B _ { 1 } E B _ { 2 } , \hspace { 7 m m } \Delta ( C ) = C _ { 1 } Q C _ { 2 }
\begin{array} { l l } { \left| \ \! \pm ; \pm ; 2 w ; 2 w ; { \mathbf 2 } , \ \ { \frac { 1 } { 2 } } ; { \mathbf 1 } , 0 , 0 \ \! \right\rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \left| \ \! \underline { { 1 _ { 2 } } } , \underline { { 0 _ { } } } ; \underline { { 0 _ { } } } , \underline { { 0 _ { } } } \ \! \right\rangle \pm \left| \ \! \underline { { 0 _ { } } } , \underline { { 1 _ { 2 } } } ; \underline { { 0 _ { } } } , \underline { { 0 _ { } } } \ \! \right\rangle \right) } \\ { \left| \ \! \pm ; \pm ; 2 w ; 2 w ; { \mathbf 2 } , - { \frac { 1 } { 2 } } ; { \mathbf 1 } , 0 , 0 \ \! \right\rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \left| \ \! \underline { { 1 _ { 1 } } } , \underline { { 0 _ { } } } ; \underline { { 0 _ { } } } , \underline { { 0 _ { } } } \ \! \right\rangle \pm \left| \ \! \underline { { 0 _ { } } } , \underline { { 1 _ { 1 } } } ; \underline { { 0 _ { } } } , \underline { { 0 _ { } } } \ \! \right\rangle \right) } \\ \end{array} \hspace { 1 . 0 c m }
\tilde { { \cal K } } = \frac { ( D - 2 ) { \cal K } } { D - 2 - { \cal K } } \ ,
S ( x ) = { \cal S } _ { 0 } ( x ) \operatorname { e x p } \left[ - i e ^ { 2 } \beta ( x ) \right] \; ,
\begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } = \alpha ^ { \prime } g _ { 6 } \sqrt { N _ { 1 } N _ { 5 } } [ } & { u ^ { 2 } ( d x _ { 0 } ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } ) + { \frac { d u ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } } + d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { \nonumber + } & { \beta ( N _ { 1 } , N _ { 5 } ) ( d x _ { 2 } ^ { 2 } + . . . + d x _ { 5 } ^ { 2 } ) ] , } \\ \end{array}
\widetilde { \Gamma } _ { k p } \ = \ \frac { 1 } { \mu _ { k } { - } \bar { \mu } _ { p } } \, T _ { k } ^ { \dagger } \, T _ { p } \quad , \qquad \textrm { i . e . } \qquad \sum _ { k = 1 } ^ { m } \, \Gamma ^ { \ell k } \, \widetilde { \Gamma } _ { k p } \ = \ \delta _ { \ p } ^ { \ell } \quad .
\psi \longrightarrow e ^ { i \theta \gamma _ { 5 } } \psi \, .
\zeta _ { \pm } ^ { \prime } ( 0 | K _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { \prime } ( 0 | L ) \pm \frac { i \pi } { 2 } \eta ( 0 | K _ { 0 } ) \, .
\widehat { X } = X _ { + } \otimes \sigma _ { 3 } + X _ { - } \otimes i \sigma _ { 2 } ,
F \equiv \frac { 1 } { 4 } F ^ { a b } F _ { a b } =
D _ { 1 } \phi + i \sigma _ { 1 } D _ { 2 } \phi = 0 \, , \hspace { 5 m m } D _ { 1 } \chi + i \sigma _ { 2 } D _ { 2 } \chi = 0 \, ,
z _ { 1 } ^ { P _ { 1 } + 2 } + \dots + z _ { P _ { s } } ^ { P _ { s } + 2 } = 0 ~ ,
x \times y - y \times x - F ( x , y ) \; , \quad x , y \in E \; .
g \, e ^ { { \vec { \xi } } . { \vec { X } } } = e ^ { { \vec { \xi } } \, ^ { \prime } . { \vec { X } } } e ^ { { \vec { u } } \, ^ { \prime } . { \vec { T } } } ,
T _ { \bar { \imath } \bar { \jmath } k } = T _ { i \bar { \jmath } \bar { k } } = T _ { \bar { \imath } j \bar { k } } = m \epsilon _ { i j k } \ .
\phi ^ { ( 1 ) } ( a , b , c | u , v , w + 1 / 4 ) = C ( u , v , w ) \, f ( u , v , w ) \, W ( a , b | A _ { - 1 } ) \, \overline { { W } } ( b , c | B _ { - 1 } ) ,
{ \cal D } _ { b } \psi ^ { a b } = 0 , \quad \quad \psi ^ { a b } = \psi ^ { b a } ,
\{ \phi , \psi \} = \{ \phi , \psi \} _ { \mathrm { K i r } } + \partial ^ { i } \phi L _ { i } \psi - \partial ^ { i } \psi L _ { i } \phi , ~ ~ ~ \phi , \psi \in \mathrm { F u n } ( T ^ { * } G ) .
[ \partial _ { x } - \sum _ { s = 1 } ^ { m _ { 1 } } A ^ { - s } , \partial _ { y } - ( \rho h ) - \sum _ { s = 1 } ^ { m _ { 2 } } A ^ { + s } ] = 0
\vec { E } ( \tau ) = \left[ { \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } } - ( 2 / \tau ) { \frac { d } { d \tau } } \right] \vec { G } ( \tau )
A ( b , \theta ) = A ( b , \theta ) ^ { \geq 0 } + A ( b , \theta ) ^ { < 0 } .
\nabla _ { \nu } \nabla ^ { \nu } A _ { \mu } = - I _ { A \mu } = 4 e \Phi ^ { 2 } ( \chi _ { A , \mu } + e A _ { \mu } ) .
( 1 + \theta + \omega + \theta \omega ) ( 1 + \alpha \Omega ^ { \prime } )
\operatorname { l o g } \, Z \left( \beta \right) = \frac { f \left( 0 \right) } { 2 } - I \left( 0 \right) - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } I \left( n \right) ,
H ( \omega , 0 ) = \frac { \phi _ { 1 } f _ { 2 } \partial _ { r } ( \phi _ { 2 } ^ { ( - ) } / A _ { - } ) - ( \phi _ { 2 } ^ { ( - ) } / A _ { - } ) f _ { 1 } \partial _ { r } \phi _ { 1 } } { \phi _ { 1 } f _ { 2 } \partial _ { r } ( \phi _ { 2 } ^ { ( + ) } / A _ { + } ) - ( \phi _ { 2 } ^ { ( + ) } / A _ { + } ) f _ { 1 } \partial _ { r } \phi _ { 1 } } \ .
\frac { d \phi ^ { i } } { d t } = - g ^ { i j } \frac { \partial W } { \partial \phi ^ { j } } \ ,
L _ { 1 } = \mathcal { \vartheta } _ { 3 } ^ { 4 } ( 0 | \theta ) - \mathcal { \vartheta }
p _ { \mu } ^ { i } \left( \kappa \right) = P _ { \mu } \, \, v ^ { i } \left( \kappa \right) + \varepsilon _ { a b } W _ { \mu } ^ { a } \, \lambda ^ { i b } \left( \kappa \right)
I _ { 1 } ( y , \mp r ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \frac { 1 } { \operatorname { e x p } ( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mp r ) + 1 } ,
r \rightarrow r _ { 0 } , f \rightarrow 1 + s i n h ^ { 2 } \gamma = c o s h ^ { 2 } \gamma \equiv \lambda ^ { 3 }
\gamma _ { 1 } = \left\langle \sum _ { X _ { i } \in ( { \it G } _ { 1 } ) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } \sum _ { \stackrel { i _ { \alpha _ { 1 } } < j _ { \alpha _ { 1 } } } { \left\{ i _ { \alpha _ { 1 } } , j _ { \alpha _ { 1 } } \right\} \in J _ { X _ { i } } } } t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } { \bf 1 } _ { ( w ( t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } ) = w ( t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } ) ) } \chi \left( \left( i _ { \alpha _ { 1 } } , j _ { \alpha _ { 1 } } \right) \in i _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \prime } \right) \right\rangle _ { w ^ { \prime } } ^ { l . c . } \; \mathrm { ~ a n d }
q _ { j } ( x _ { 0 } ) = A _ { j + 1 } , \quad q _ { j } ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = B _ { j + 1 } , \quad j = 0 , 1 , \ldots , n - 1 .
{ \frac { 1 } { 2 \pi } } \sum _ { l = 1 / 2 } ^ { \infty } 2 l e ^ { - { \frac { l ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } t } = { \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \pi t } } + { \frac { \rho ^ { 2 } } { ( 4 \pi t ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \mathrm { P } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ( { \frac { x } { 2 \rho } } \mathrm { c o s e c } { \frac { x } { 2 \rho } } - 1 ) e ^ { - { \frac { x ^ { 2 } } { 4 t } } } ,
\partial ^ { 2 } \bar { \Psi } ^ { \alpha } - i g \; \partial _ { x + i y } \Phi \; \partial _ { 0 - z } \bar { \Psi } ^ { \alpha } + i g \; \partial _ { 0 - z } \Phi \; \partial _ { x + i y } \bar { \Psi } ^ { \alpha } = 0 \, ,
Q = \frac { 1 } { 2 \pi } 2 \pi \theta \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left\langle k \right| \left( - \theta ^ { - 1 } n \left| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right| \right) \left| k \right\rangle = - n ,
[ \: x ^ { \lambda } , \eta _ { \mu \nu } \, \dot { x } ^ { \mu } \, \dot { x } ^ { \nu } \: ] = 0 .
m _ { h } = \frac { g _ { s m } ^ { 2 } | \psi ( 0 ) | ^ { 2 } } { M _ { G } ^ { 2 } } = \frac { M _ { G } } { \sqrt { \pi } c _ { f } \alpha _ { s } \sqrt { N _ { s d } } }
{ \bf \Phi } _ { 1 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } = { \bf \Phi } _ { 1 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } ( \rho , k ) = \left( \begin{array} { c } { \phi _ { 1 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } ( \rho , k ) } \\ { \phi _ { 2 } ^ { ( n _ { \rho } , m ) } ( \rho , k ) } \\ \end{array} \right)
\frac { d \lambda ^ { \gamma } } { d u } = { \tilde { f } } _ { \gamma } ( u ) \lambda _ { 1 }
u _ { 2 } = \xi _ { 0 } + i \xi _ { 3 } = \rho ~ \frac { e ^ { i \psi } } { \sqrt { 1 + z \bar { z } } }
\tilde { h } = \frac { 1 } { 1 + ( a u ) ^ { 7 - p } } , \ \ \ a ^ { 7 - p } = \tilde { b } ^ { 2 } / R ^ { 7 - p } , \ \ \ R ^ { 7 - p } = \frac { 1 } { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 6 - p } \pi ^ { - ( 7 - p ) / 2 } \Gamma [ ( 7 - p ) / 2 ] \hat { g } _ { s } N .
\phi ( \Gamma ) ( m ; p _ { i } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { F _ { \Gamma } ( r ; m ; p _ { i } ) } { r } d r ,
k ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { y _ { c } ^ { 2 } } n _ { k } ^ { 2 } ~ ,
\delta \hat { \vec { B } } \; = \; d \hat { \vec { \cal N } } \; \rightarrow \; \delta \hat { \vec { B } } \, = \, { \cal D } \hat { \vec { \cal N } } \, = \, d \hat { \vec { \cal N } } \, + \, \hat { \cal E } \wedge \hat { \vec { \cal N } } \; ,
\partial _ { + } g _ { L } g _ { L } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { v _ { L } \partial _ { + } u _ { L } + b _ { L } \partial _ { + } a _ { L } } & { u _ { L } \partial _ { + } a _ { L } - a _ { L } \partial _ { + } u _ { L } } \\ { b _ { L } \partial _ { + } v _ { L } - v _ { L } \partial _ { + } b _ { L } } & { u _ { L } \partial _ { + } v _ { L } + a _ { L } \partial _ { + } b _ { L } } \\ \end{array} \right) ,
\langle \Theta \rangle = c ~ R ^ { ( 2 ) } + \beta ^ { i } \langle V _ { i } \rangle
g _ { 2 } \equiv r + \frac { \lambda v ^ { 2 } } { 2 } + \frac { w v ^ { 4 } } { 2 4 } ,
\begin{array} { r c l } { \psi _ { \uparrow } ^ { ( + ) } } & { = } & { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } \pi / 4 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } \, ; } \\ { \psi _ { \downarrow } ^ { ( + ) } } & { = } & { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } \pi / 4 } \gamma _ { 3 1 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } \, ; } \\ { \psi _ { \uparrow } ^ { ( - ) } } & { = } & { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } 3 \pi / 4 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } ) \, ; } \\ { \psi _ { \downarrow } ^ { ( - ) } } & { = } & { \sqrt { \rho } e ^ { \gamma _ { 5 } 3 \pi / 4 } ( \gamma _ { 1 2 } e ^ { - \gamma _ { 2 1 } M c t / \hbar } ) \, . } \\ \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } \int ( { \cal H } + \bar { \cal H } ) d x ,
G _ { \mathrm { c o m p a c t } } = S O \left( 2 \right) _ { E } \oplus S O \left( 3 \right) _ { S } \oplus S O \left( 2 \right) _ { R } \subset G _ { \mathrm { e v e n } } .
\partial _ { \mu } ( \sqrt { g } R ^ { \mu } ) = - \frac { 1 } { 3 g ^ { 3 } } \widetilde { \beta } ( g ) ( F \widetilde { F } ) - \frac { \tilde { b } ( g ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } ( B \widetilde { B } ) + \frac { \tilde { c } ( g ) - a ( g ) } { 2 4 \pi ^ { 2 } } R \widetilde { R } + \frac { 5 a ( g ) - 3 \tilde { c } ( g ) } { 9 \pi ^ { 2 } } ( V \widetilde { V } )
\tilde { \cal E } _ { q } [ \phi ( x ) ] \sim \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { \tilde { E } _ { j } } | \tilde { E } _ { j } | - \sum _ { \tilde { E } _ { j } ^ { 0 } } | \tilde { E } _ { j } ^ { 0 } | \right) + \tilde { \cal E } _ { c t } [ \phi ( x ) ]
\zeta = \kappa \operatorname { c o s } \theta , \quad k = \kappa \operatorname { s i n } \theta ,
S = t r H ^ { 4 } - 2 { \mu } ^ { 2 } t r H ^ { 2 } + n { \mu } ^ { 4 } .
S ^ { - 1 } ( p ) = i \gamma \cdot p A ( p ^ { 2 } ) + B ( p ^ { 2 } ) ,
x ^ { \mu } = R ^ { \mu } ( \tau , \sigma ) + \rho ^ { \alpha } n _ { ( \alpha ) } ^ { \mu } ( \tau , \sigma ) \; \; ,
T ^ { \prime i j } = T ^ { i j } + S ^ { i k j } { } _ { ; k } ,
t ^ { 2 } - v ^ { 2 } t + \Lambda ^ { 2 } v ^ { 2 } = 0 .
L = g ^ { - 1 } C g , \quad L \in G ^ { * } , \quad g \in G ,
c _ { n } \equiv t r _ { q } K ^ { n } \quad , \quad K c _ { n } = c _ { n } K \quad .
{ \bf e ^ { a } } = 2 ( 2 \alpha ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } { \bf w ^ { a } } \ ,
\psi _ { c o v a r } ( p , g ) = F ( L ^ { - 1 } ( p ) g ) \psi ( p )
H = \frac { 1 } { 4 \pi } \left( P ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } \, e ^ { 2 \gamma Q } \right)
{ \tilde { \epsilon } } = \int _ { r _ { h } } ^ { r _ { h } + \epsilon } d r \, \Delta ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = 2 \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \Delta _ { h } ^ { \prime } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + O ( \epsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) ,
0 = \frac { \partial \left\langle V , V \right\rangle } { \partial \lambda _ { m } }
S ( \mathrm { i } \pi - \theta ) = - \mathrm { i } t a n h ( \frac { \theta } { 2 } ) \; \; \; \bar { S } ( \theta )
( - ) ^ { { \bar { \alpha } } + { \bar { \beta } } + \bar { \alpha } \bar { \beta } } \frac { { \bar { \vartheta } } [ _ { \bar { \beta } } ^ { \bar { \alpha } } ] } { { \bar { \eta } } } \rightarrow \frac { { \bar { \vartheta } [ _ { \bar { \beta } } ^ { \bar { \alpha } } ] } ^ { 1 3 } } { { \bar { \eta } } ^ { 1 3 } } .
R _ { 1 } ^ { \mathbf { I I B } } = \frac { R } { \sqrt { 2 } N _ { 2 } } \quad \textrm { a n d } \quad \omega _ { n } = \sqrt { \mu ^ { 2 } + \frac { n ^ { 2 } } { l _ { s } ^ { 4 } ( p ^ { + } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { c l } { F ( x , e ) } & { = F ^ { r } ( x , r ) } \\ \end{array}
\delta _ { i = j } = \delta _ { + - } = \delta _ { - + } = 1 , \quad \delta _ { i \neq j } = \delta _ { i + } = \delta _ { i - } = \delta _ { + + } = \delta _ { -- } = 0 .
S _ { \mathrm { b o u n d a r y } } ^ { \mathrm { q u i n t i c } } = \int d x ^ { 0 } \frac { \theta } { 4 \pi r } \sum _ { i } \left( \overline { { \psi } } _ { + i } \psi _ { + i } + \overline { { \psi } } _ { - i } \psi _ { - i } \right)
\eta = \int ^ { X ^ { 0 } } \frac { d X ^ { 0 } } { R ( X ^ { 0 } ) } ~ ,
E ^ { f K K } = - { \cal { F } } \left[ \frac { \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + a ^ { 2 } k ^ { 2 } x ^ { 2 } } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta } { 2 } \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + a ^ { 2 } k ^ { 2 } x ^ { 2 } } \right) \right] .
W ^ { \mathrm { \scriptsize ~ r e n } } = - \frac 1 2 \zeta ^ { D } ( 0 ) ^ { \prime } - \operatorname { l o g } ( \mu ) \zeta ^ { D } ( 0 ) \, .
\nu _ { - a b } \equiv n _ { - a b } \circ \varphi _ { + } , \qquad \eta _ { - a b } \equiv h _ { - a b } \circ \varphi _ { + } .
\delta B = { \frac { 1 } { 2 } } \delta \bar { \theta } \Gamma _ { M N } \theta ( d X ^ { M } d X ^ { N } + \bar { \theta } \Gamma ^ { M } d \theta d X ^ { N } + { \frac { 1 } { 3 } } \bar { \theta } \Gamma ^ { M } d \theta \bar { \theta } \Gamma ^ { N } d \theta )
T \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 1 - y _ { 3 } ^ { 2 } } } \left( y _ { 2 } { \bf 1 } _ { 2 } + i { \bf y } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \sigma ~ } \right) \; \; .
M _ { i j } \partial ^ { ( j } A ^ { i ) } = 0 , M _ { i j } \partial ^ { i } \partial ^ { j } A _ { k } = 0 .
N = \sum _ { n > 0 } \alpha _ { - n } ^ { i } ( E ) G _ { i j } \alpha _ { n } ^ { j } ( E ) , \, \tilde { N } = \sum _ { n > 0 } \tilde { \alpha } _ { - n } ^ { i } ( E ) G _ { i j } \tilde { \alpha } _ { n } ^ { j } ( E )
c ( i , j , k ) = ( - ) ^ { B ( \beta _ { i } , \beta _ { j } ) + B ( \beta _ { i } , \beta _ { k } ) + B ( \beta _ { j } , \beta _ { k } ) + B ( \beta _ { 0 } , \omega ) + 1 }
\omega = \phi ^ { \alpha } \cdot \sum _ { i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } } a _ { i _ { 1 } \cdots i _ { k } } ( v ) d v ^ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d v ^ { i _ { n } }
e _ { \mu } ^ { f } = \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( e _ { \mu } ^ { [ + 2 ] } + e _ { \mu } ^ { [ - 2 ] } \right) , { \frac { 1 } { 2 } } \left( e _ { \mu } ^ { [ + 2 ] } - e _ { \mu } ^ { [ - 2 ] } \right) \right)
f ( \mu ) = \pi - f ( \pi - \mu ) .
\Sigma _ { \alpha \beta } = V ^ { - 1 } ~ \sigma _ { \alpha \beta } V
{ \cal H } _ { T } = { \cal H } _ { 1 } + \Sigma _ { i = 1 } ^ { 3 } c ^ { i } \, \phi _ { i } , \; \; \; \; \; { \cal H } _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } q _ { x x } - p \, q _ { x x }
{ \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \tau ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \partial \varphi } { \partial r } } = { \frac { \partial U ( \varphi , T ) } { \partial \varphi } } ,
V _ { \mu } \rightarrow \frac { i } { g } ~ \theta ( \mathrm { \boldmath ~ r ~ } ) ~ \partial _ { \mu } ~ \theta ( \mathrm { \boldmath ~ r ~ } ) + \theta ( \mathrm { \boldmath ~ r ~ } ) ~ V _ { \mu } ~ \theta ^ { \dag } ( \mathrm { \boldmath ~ r ~ } )
[ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots ~ , a _ { r } ] \rightarrow [ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots ~ , ( a _ { j } + 1 ) , 1 , ( a _ { j } + 1 ) , \cdots ~ , a _ { r } ]
[ Q _ { i } , \; Q _ { j } ] _ { + } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \; A _ { M _ { 1 } } ^ { \dagger } \ldots A _ { M _ { n } } ^ { \dagger } ( A ^ { \dagger } [ \Gamma _ { i } , \; \Gamma _ { j } ] _ { + } A ) A _ { M _ { n } } \ldots A _ { M _ { 1 } } .
\beta ( g ) = - g \frac { b _ { 0 } + b _ { 1 } g + b _ { 2 } g ^ { 2 } } { 1 + a _ { 1 } g + a _ { 2 } g ^ { 2 } }
A ^ { \mathrm { T } } = - A , \qquad M \eta A + A \eta M = 0
J _ { \mu } = - { \frac { i e } { 2 } } \bigg [ \Phi ^ { \ast } D _ { \mu } \Phi - \Phi \big ( D _ { \mu } \Phi \big ) ^ { \ast } \bigg ] \, .
\gamma _ { i } ( \beta \sqrt { - \triangle } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! { \mathrm d } t \, \, g _ { i } ( t ) \left[ \frac { 2 \pi } { \beta { \sqrt { - \triangle } } \, t } \, \frac { 1 } { { \mathrm s h } ( 2 \pi t / ( \beta { \sqrt { - \triangle } } ) ) } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right] ,
\xi _ { 1 } ^ { m } ( u ) = - \frac { \partial \xi _ { 2 } ^ { 1 } ( u ) } { \partial x ^ { m } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } x ^ { i } ( u ) \frac { \partial \xi _ { 1 } ^ { i } ( u ) } { \partial x ^ { m } } .
\sigma _ { \mathrm { a b s } } ^ { ( 1 , 0 ) } = \frac { { \cal A } _ { H } } { 2 } .
\psi ( x ) \mapsto \psi ^ { \prime } ( x ) \equiv e ^ { i \theta ( x ) } \psi ( x ) \ , \hspace { 2 e x } \overline { \psi } ( x ) \mapsto \overline { { \psi ^ { \prime } } } ( x ) \equiv \overline { \psi } ( x ) e ^ { - i \theta ( x ) } \ .
I ( x ^ { - } , x ^ { + } ) = I ^ { ( 1 ) } ( x ^ { - } , x ^ { + } ) + I ^ { ( 2 ) } ( x ^ { - } , x ^ { + } )
V ( \phi ) = { \frac { \lambda } { 2 } } \left( \phi ^ { a } \phi ^ { a } - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \ .
{ \widetilde \Phi } ^ { A ^ { \prime } } ( \gamma ) \equiv \gamma ^ { A ^ { \prime } C ^ { \prime } C } \; { _ { e } n _ { C C ^ { \prime } } } = 0 \; .
\phi = \pm \imath \operatorname { l o g } \frac { 2 } { \beta } \left( 1 + \sqrt { 1 - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } } \right) ,
N \approx L ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { \gamma \beta L } { 2 ( 1 - \gamma L ) ^ { 2 } } \right] .
- \left( \frac { \partial } { \partial \xi } , \frac { \partial } { \partial \eta } \right) \Gamma ( \xi , \eta ) \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial } { \partial \xi } } \\ { \frac { \partial } { \partial \eta } } \\ \end{array} \right)
i \frac { \partial \psi } { \partial t } = - i \mathrm { \boldmath ~ \alpha ~ } \cdot \nabla \psi + \beta m \psi - q \mathrm { \boldmath ~ \alpha ~ } \cdot { \bf A } \psi + q A _ { 0 } \psi
D G _ { R } = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ G _ { L } \overleftarrow { D } = 0
\left\{ - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } + \sum _ { \stackrel { i , j = 1 } { i \neq j } } ^ { 3 } \left( { \frac { \omega ^ { 2 } } { 8 } } \left( x _ { i } - x _ { j } \right) ^ { 2 } + { \frac { 2 \alpha } { \left( x _ { i } - x _ { j } \right) ^ { 2 } } } + \Omega \left( \frac { x _ { i } - x _ { j } } { \sqrt { 2 } } \right) \right) \right\} \psi = E \psi ~ ,
\Pi _ { b } ^ { \mu \nu } ( p ) = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } t r \left\{ \gamma ^ { \mu } S ( l ) \gamma ^ { \nu } G _ { b } ( l + p ) + \gamma ^ { \mu } G _ { b } ( l + p ) \gamma ^ { \nu } S ( l ) \right\} .
{ \frac { \tau _ { j k } } { c _ { 2 } \tau \sp 2 _ { j m } } } =
M ( E ) = \left( \begin{array} { l l } { g - B g ^ { - 1 } B } & { B g ^ { - 1 } } \\ { - g ^ { - 1 } B } & { g ^ { - 1 } } \\ \end{array} \right) ,
I _ { e f f } ^ { \mathrm { C . S } } = \frac { m } { | m | } \theta ( m ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) \pi W [ A ] ,
\delta S _ { W Z N W } = \frac { k } { 2 \pi } \int _ { \partial M } ( \partial _ { \tau } ( U ^ { - 1 } \partial _ { \phi } U ) \delta U .
\frac { 1 } { 2 } \rho \xi ^ { - 2 } = Y ^ { 2 } \pm U \mp V - X ^ { 2 } - Z \geq 0 .
{ F } = { \sum _ { m = 1 / 2 } ^ { \infty } \psi _ { - m } \cdot \psi _ { m } } - 1 ~ ~ , ~ ~ { G } = { - \sum _ { m = 1 / 2 } ^ { \infty } \left( \gamma _ { - m } \beta _ { m } + \beta _ { - m } \gamma _ { m } \right) } ~ ~ .
e _ { 1 } = \left| \begin{array} { c } { \overrightarrow { e _ { 1 } } } \\ { 0 } \\ \end{array} \right| , \quad e _ { 2 } = \left| \begin{array} { c } { \overrightarrow { e _ { 2 } } } \\ { 0 } \\ \end{array} \right| , \quad e _ { 3 } = \left| \begin{array} { c } { \overrightarrow { e _ { 3 } } } \\ { 0 } \\ \end{array} \right| , \quad e _ { 4 } = \left| \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ \end{array} \right| .
\frac { d ( T _ { \eta } ^ { \eta } c ( \eta ) } { d \eta } = \frac { \dot { c } ( \eta ) } { 2 } T _ { \beta } ^ { \beta } .
R _ { \pm } ( d T ) _ { 1 } ( d T ) _ { 2 } = - ( d T ) _ { 2 } ( d T ) _ { 1 } R _ { \mp } .
I _ { m n } = \int d \bar { z } d z \ e _ { q } ^ { - \bar { z } z } z ^ { n } \bar { z } ^ { m } = \delta _ { m n } [ n ] ! \ ,
( \gamma / \nu d _ { H } ) _ { e f f } \equiv \operatorname { l n } \left( { \frac { \chi _ { 2 N } } { \chi _ { N } } } \right) / \operatorname { l n } 2 .
F = S T U + f ( T , U ) + f ^ { n o n - p e r t } .
[ A ( m ) , \bar { A } ( m ^ { \prime } ) ] = \delta _ { m m ^ { \prime } } \ \ \ \mathrm { a n d \ \ o t h e r s } = 0 .
\Lambda ^ { 0 } = ( \partial _ { i } F ^ { i o } - \rho ) \dot { { \bar { c } } } - b \nabla ^ { 2 } { \bar { c } } ,
\Psi _ { F Q H E } ^ { m } ( Z ) = \prod _ { i < j } ^ { N } ( Z _ { i } - Z _ { j } ) ^ { m } \operatorname { e x p } \{ - \sum _ { k = 1 } ^ { N } | Z _ { k } | ^ { 2 } \} ,
\mathbf { \gamma } _ { b } ^ { a } = - ( \alpha _ { b c } ^ { a } \mathbf { \omega } ^ { c } + \beta _ { b } ^ { a c } \mathbf { \omega } _ { c } )
\xi ^ { ( i ) } ( x _ { + } ) \equiv \langle \lambda ^ { i } | T _ { L } , { } ~ ~ ~ ~ \bar { \xi } ^ { ( i ) } ( x _ { - } ) \equiv T _ { R } ^ { - 1 } | \lambda ^ { i } \rangle
\operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } { \frac { 1 } { 2 } } \Big [ Z ^ { a | a } ( L ; q ) - Z ^ { a } ( L ; q ) \Big ] = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } \left( 2 ^ { L - 1 } - 2 ^ { \lfloor \frac { L } { 2 } \rfloor } \right) , } & { a = 1 o r + } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( 2 ^ { L } - 2 ^ { \lfloor \frac { L + 1 } { 2 } \rfloor } \right) ule { 0 in } { 0.25 in } , } & { a = 2 o r F } \\ \end{array} \right.
t ^ { t t } \approx \ell ^ { 2 } \delta ^ { - 2 } \, \Rightarrow \, < 0 | T ^ { t t } | 0 > \approx \hbar \ell ^ { 2 } \delta ^ { - 6 } \approx \hbar \ell ^ { - 1 } ( \ell - T ) ^ { - 3 } .
N = \frac { 1 } { 2 } ( 2 \times 2 4 - 2 \times 2 2 - 2 ) = 1 \ ,
H _ { \mu \nu } = \mu \delta _ { \mu , \nu } , \quad E ( \alpha ) _ { \mu \nu } = \delta _ { \mu - \nu , \alpha } .
\Lambda = \frac { d Y } { d { \cal G } } \, { \cal G } - Y
Y ^ { \mu } = \frac { x _ { 1 3 } ^ { \mu } } { x _ { 1 3 } ^ { 2 } } - \frac { x _ { 2 3 } ^ { \mu } } { x _ { 2 3 } ^ { 2 } }
{ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ = \Bigg \{ \sum _ { \sigma = 0 } ^ { N - 1 } { \frac { w ( x _ { 3 } , x _ { 1 3 } , x _ { 1 } | \sigma + e - h ) w ( x _ { 4 } , x _ { 2 4 } , x _ { 2 } | \sigma + f - b ) s ( \sigma , b - g ) } { w ( x _ { 4 } , x _ { 1 4 } , x _ { 1 } | \sigma + e - h ) w ( x _ { 3 } , x _ { 2 3 } , \omega x _ { 2 } | \sigma + f - b ) } } \Bigg \} _ { 0 } ,
\overline { { \sigma } } _ { 3 } ^ { \prime } ( s ) = - 4 \frac { \mu ( t ) + \mu ( t ^ { 2 } ) } { \sqrt { s ( s - 4 ) } } \, \Theta ( s - 4 )
F _ { \theta \phi } ^ { I } = k q ^ { I } f ( \theta ) , \qquad A _ { \phi } ^ { I } = k q ^ { I } \intf ( \theta ) d \theta .
L ^ { d = 4 } = \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } \int \left( W ^ { 2 } d ^ { 2 } \theta + \bar { W } ^ { 2 } d ^ { 2 } \bar { \theta } \right) + \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \sum _ { r , s , t = 0 } ^ { \infty } a _ { r s t } \int d ^ { 4 } \theta \left( W ^ { 2 } \bar { W } ^ { 2 } \right) ^ { r } X ^ { s } Y ^ { t }
\operatorname* { s u p } _ { x } \frac { | f ( x ) - f ( p ) | } { \mathrm { d i s t } ( x , p ) } \leq \operatorname* { s u p } _ { x } \operatorname* { l i m } _ { p \to x } \frac { | f ( x ) - f ( p ) | } { \mathrm { d i s t } ( p , q ) } ~ .
\operatorname* { d e t } V _ { \pm } [ \alpha ] \operatorname* { d e t } V _ { \pm } [ \beta ] = \operatorname* { d e t } V _ { \pm } [ \alpha + \beta ] \; ,
\epsilon ( t , z , r , \theta , \phi ) = e ^ { { \frac { i } { 2 } } \Gamma _ { 4 } \theta } e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma _ { 3 } \Gamma _ { 4 } \phi } \Big ( ( 1 + \Gamma _ { 0 } \Gamma _ { 1 } ) r ^ { \frac { - 1 } { 4 } } - { \frac { ( t - z ) } { 2 ( Z _ { m } ) _ { \mathrm { c r } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } r ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { 1 } ) \Gamma _ { 2 } \Big ) \kappa _ { 0 } .
J ^ { M } = - \frac { 1 } { \sqrt { g _ { 5 } } } \frac { \delta S _ { b u l k } } { \delta \partial _ { M } \phi } .
\left. { \delta I / { \delta \phi } } \right| _ { \phi = \phi _ { 0 } } = 0 ~ ~ ~ .
( z _ { 1 } , { \cal Z } _ { 1 } , { \cal F } _ { 1 } ) \times ( z _ { 2 } , { \cal Z } _ { 2 } , { \cal F } _ { 2 } ) = ( z _ { 1 } z _ { 2 } , \, z _ { 1 } { \cal Z } _ { 2 } + z _ { 2 } { \cal Z } _ { 1 } , \, z _ { 1 } { \cal F } _ { 2 } + z _ { 2 } { \cal F } _ { 1 } - 2 { \cal Z } _ { 1 } { \cal Z } _ { 2 } ) .
b _ { 0 } = b _ { 0 , r e n } + { \frac { m ^ { 2 } ( 1 / 6 - \xi ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } \epsilon } }
\dot { G } _ { B } ( \tau , \tau ) = 0 , \quad \dot { G } _ { B } ^ { 2 } ( \tau , \tau ) = 1
h _ { \ell } = - \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { r ^ { 2 } } + \frac { \gamma } { r }
E \rightarrow E ^ { \prime } = ( \alpha E + \beta ) ( \gamma E + \delta ) ^ { - 1 } ~ .
\dot { \phi } _ { i } ~ = ~ g _ { i } ( \phi _ { i } , { \frac { \delta S } { \delta \phi _ { i } } } , \rho ) ~ = ~ f _ { i } ( \phi _ { i } , \rho ) .
W = \prod _ { a = 1 } ^ { p - 1 } \left( \frac { n ^ { \frac { 1 } { l } } } { L _ { a } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s } \left( \frac { \pi } { 2 s } \right) ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } e ^ { - r ^ { 2 } s } \frac { 4 \operatorname { s i n h } ^ { 2 } ( \omega _ { l } s \operatorname { s i n } { \frac { \phi } { 2 } } ) - \operatorname { s i n h } ^ { 2 } ( 2 \omega _ { l } s \operatorname { s i n } { \frac { \phi } { 2 } } ) } { \operatorname { c o s } { \frac { \phi } { 2 } } ~ \operatorname { s i n h } ( 2 \omega _ { l } s \operatorname { s i n } { \frac { \phi } { 2 } } ) } \, .
\hat { \theta } = \hat { \theta } ( x , y , \tilde { x } , \tilde { y } ) = \hat { \theta } ^ { + } .
W _ { p , N _ { r } } ^ { ( o ) } ( t ) = ( - 1 ) ^ { e ( N _ { r } ) } \sum _ { N _ { o } , N _ { o } ^ { \prime } } \left[ E _ { p , N _ { o } } ^ { ( - 2 ) } \left( Y _ { b , N _ { r } } ( t ) \right) + \sum _ { N } [ \partial q _ { N } Y _ { p , N _ { r } } ( t ) ] B _ { N N _ { o } } \right] A _ { N _ { o } N _ { o } ^ { \prime } } ^ { - 1 } \chi _ { N _ { o } ^ { \prime } } ( t )
\Omega _ { U V } \Omega _ { V W } \Omega _ { W U } = \mathrm { i d }
\left\{ Q _ { n } ^ { - } , Q _ { n } ^ { + } \right\} _ { P B } = - i ( H _ { n } ) ^ { n } , \qquad \{ Q _ { n } ^ { \pm } , H _ { n } \} _ { P B } = 0 .
L = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ { \frac { 1 } { 2 } } ( P _ { i } ^ { 2 } + { e ^ { - ( Q _ { i + 1 } - Q _ { i } ) } } ) { \dot { Q } } _ { i } + \pi _ { i } ( P ) { \dot { P } } _ { i } ] - H ( Q , P )
( 1 - P ) \, a \, T \ = \ 0 \quad ,
x ^ { 0 } ( \tau , \sigma ) = \frac M L \tau , \quad \quad x ^ { 1 } ( \tau , \sigma ) = q + \frac M { 2 L } \, [ f ( \tau + \sigma ) + g ( \tau - \sigma ) ] ,
| D \rangle _ { 0 } = { \frac { 1 } { \sqrt { M } } } | { \widetilde D } \rangle _ { 0 } ~ .
\overline { { \Delta _ { A Y ^ { \prime } } ^ { a } } } = \epsilon ^ { A B } \epsilon ^ { Y ^ { \prime } Z ^ { \prime } } \Delta _ { B Z ^ { \prime } } ^ { a } \; .
\psi \left( x \right) = \psi _ { o u t } \left( x \right) + \int S _ { A } \left( x - y \right) j \left( y \right) d ^ { 4 } y
f _ { g } ( \mu ) = \frac { 1 + ( 1 - g ) \mu } { 1 - g \mu } \, ,
\Delta a _ { j } ^ { i } ( x , y , z ) = a _ { j } ^ { i } ( x , y , z ) = \sum _ { k , l } a _ { k } ^ { i } ( x ) a _ { l } ^ { k } ( y ) a _ { j } ^ { l } ( z )
\phi _ { n } = \phi _ { n } ^ { \left( 0 \right) } - T \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \Delta _ { F } ^ { n - m }
e _ { \mu } ^ { a } \, e _ { \nu } ^ { b } \, \hat { \xi } _ { a b } \, e ^ { c \, \mu } \, e ^ { d \, \nu } \, \hat { \xi } _ { c d } = \Omega ^ { - 1 } \, \hat { \eta } _ { \mu \nu } \, \hat { \eta } ^ { \mu \nu } \, \Omega .
\partial _ { a } \hat { X } ^ { - } = 0 , \hspace { 1 . 0 c m } \partial _ { a } \hat { X } ^ { M } = 0
\kappa = \sqrt { { \frac { g ( g + 1 ) } { R ^ { 2 } } } + R ^ { 2 } - ( 2 \epsilon + 2 g - 1 ) } \approx { \frac { \sqrt { g ( g + 1 ) } } { R } }
\Gamma [ W , \bar { W } , q ^ { + } ] = S [ V ^ { + + } , q ^ { + } ] + \bar { \Gamma } [ W , \bar { W } , q ^ { + } ] ,
{ \gamma } _ { 1 1 } = { \gamma } _ { 2 2 } = e ^ { \Psi } ~ , ~ ~ ~ ~ { \gamma } _ { 3 3 } = 1 ,
\delta _ { l } ^ { ( 2 ) } \approx \eta \left[ \operatorname { l n } \left( \frac { z _ { l } } \alpha \right) + \frac 1 { 2 4 z _ { l } ^ { 2 } } - \frac { q ^ { 2 } } { 2 z _ { l } ^ { 2 } } + O \left( \frac 1 { z _ { l } ^ { 4 } } \right) \right] + O ( \eta ^ { 3 } ) \ .
I \propto \epsilon _ { \{ n \} } \epsilon _ { \{ m \} } \prod _ { i } \left\langle P _ { n _ { i } } ( x _ { i } ) Q _ { m _ { i } } ( y _ { i } ) \right\rangle = N ! \prod _ { n = 1 } ^ { N } h _ { n }
[ \Delta _ { \perp } ^ { d } ] ^ { - 1 } ( x _ { \perp } ) = - \int \frac { d ^ { d } k _ { \perp } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { e ^ { i k _ { \perp } \cdot x _ { \perp } } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 ^ { 2 - d / / 2 } } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } } \frac { 1 } { ( x _ { \perp } ) ^ { d / 2 - 1 } } \Gamma ( d / 2 - 1 )
\langle \Theta ( x ) \ \Theta ( y ) \rangle = { \frac { 2 ^ { 1 3 } \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 5 } { \pi ^ { 3 } } } \, \, \frac { \beta ^ { 2 } [ \lambda ( t ) ] f [ \lambda ( t ) ] } { | x - y | ^ { 1 2 } } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ x \neq y ,
V _ { \mathrm { s t a t } } ^ { \mathrm { L R } } = \frac { 1 } { 2 } \sigma \, ( r _ { 1 2 } + r _ { 2 3 } + r _ { 3 1 } )
Q ( x , \psi ) = x _ { 1 } ^ { d _ { 1 } } + \cdots + x _ { d + 1 } ^ { d _ { d + 1 } } - k \psi \cdot x _ { 1 } \cdots x _ { d + 1 } ,
\bar { H } _ { \mathrm { g } } = H _ { \mathrm { g } } ( q ^ { r } , p ^ { r } ) + \lambda _ { a } ^ { ( 1 ) r _ { a } } \pi _ { a } ^ { r _ { a } } + \lambda _ { a } ^ { ( 2 ) r _ { a } } \psi _ { a } ^ { r _ { a } } + \lambda _ { a } ^ { ( 3 ) } \theta _ { a } + \lambda _ { a } ^ { ( 4 ) } \gamma _ { a } ,
( a _ { i j } ) = \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \\ \end{array} \right) .
d s ^ { 2 } = R _ { h } ^ { 2 } \left[ d \chi ^ { 2 } + \operatorname { s i n h } ^ { 2 } ( \chi ) \left( d \alpha ^ { 2 } + \operatorname { s i n } ^ { 2 } ( \beta ) d \beta ^ { 2 } \right) \right]
\beta ^ { I } = - G ^ { I J } ( \phi ) { \frac { \partial } { \partial \phi ^ { J } } } \, \operatorname { l o g } ( { a \, \langle T \rangle + U ( \phi ) } )
\nabla ^ { 2 } \Phi ^ { X } + \nabla _ { \mu } \psi \nabla ^ { \mu } \Phi ^ { X } = \frac { ( q - 1 ) } { R ^ { 2 } } ( e ^ { - 2 \Phi ^ { X } } - e ^ { - 2 \psi } ) ,
\Delta _ { + } = - ( \beta ^ { - 1 } \partial _ { \mu } \beta ) ( \beta \partial _ { \mu } \beta ^ { - 1 } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \Delta _ { - } = - ( \beta \partial _ { \mu } \beta ^ { - 1 } ) ( \beta ^ { - 1 } \partial _ { \mu } \beta ) \, ,
\frac { \delta a } { a _ { p h y s } } = \frac { C _ { 2 } ^ { \infty } } { C _ { 1 } } ,
{ \cal A } ^ { 0 } = - \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int d ^ { 4 } x F _ { \mu \nu } ( x ) F ^ { \mu \nu } ( x ) + \int d ^ { 4 } x { \bar { \psi } } ( x ) ( i \partial _ { \mu } \gamma ^ { \mu } - m ) \psi ( x ) .
\chi ( \tilde { \cal M } _ { k } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { 4 ( k - 1 ) } \ \sum _ { p = 0 } ^ { k - 1 } \delta _ { i , 2 k - ( p , q ) } = k
T r : e x p i ( 2 \pi F ) = \sum _ { j = 0 } ^ { M - 1 } [ e x p i ( { \frac { 2 \pi j n } { { M } } } ) ] = 0 , \quad
{ \frac { d { Q } } { d \operatorname { l n } { \rho } } } = { \frac { g _ { s } } { 2 \pi } } \, { \widehat C _ { I J } m ^ { I } m ^ { J } } \propto \, { \beta _ { i } \bar { \beta } _ { j } \, G ^ { i j } } ~ ,
B = \int _ { 0 } ^ { x _ { \mathrm { m i n } } } \rho _ { B } d x + \int _ { x _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \infty } \rho _ { B } d x \nonumber
t _ { E Q } \sim \frac { M _ { p l } } { T _ { E Q } ^ { 2 } } \ .
x _ { \mu } ~ \longrightarrow ~ \frac { x _ { \mu } } { x ^ { 2 } }
M e _ { \nu } ( z , h ) = \alpha _ { \nu } ( h ) M _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( z , h )
\lambda _ { l } ^ { n } = \lambda _ { c } ^ { n } + i [ n + 1 - 2 l + \frac { \pi } { 2 \gamma } ( 1 - v _ { s } v _ { n } ) ]
\left[ { \alpha } _ { m } ^ { \mu } , { \alpha } _ { n } ^ { \nu } \right] = m { \delta } _ { m + n } { \eta } ^ { \mu \nu }
\Delta _ { n } ( \epsilon ) g = \int _ { \cal C } { \frac { d t } { 2 \pi i } } t ^ { - n - 1 } \delta ( \epsilon , t ) g ,
\gamma B _ { a } ^ { 0 i } = \partial _ { j } \eta _ { a } ^ { ( 2 ) i j } , \; \gamma B _ { a } ^ { i j } = \eta _ { a } ^ { ( 1 ) i j } , \; \gamma H _ { i } ^ { a } = C _ { i } ^ { ( 1 ) a } , \; \gamma H _ { 0 } ^ { a } = - \partial ^ { i } C _ { i } ^ { ( 2 ) a } ,
D _ { i } = \partial _ { i } + e ( \partial _ { j } A _ { i } ) \, \tilde { \partial } _ { j }
H ^ { 2 } = - H \frac { \dot { d _ { 0 } } } { d _ { 0 } } + \frac { \kappa ^ { 2 } ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) } { 6 d _ { 0 } } ,
\partial _ { x _ { _ \perp } } ^ { 2 } H _ { p } ( x _ { _ \perp } ) = 0 .
\psi = \psi _ { + } + \psi _ { - } , \qquad \psi _ { \pm } = P _ { \pm } \psi , \qquad P _ { \pm } = \frac { 1 } { 4 } \gamma _ { \mp } \gamma _ { \pm } \; ,
F _ { \alpha \beta } = \partial _ { \alpha } A _ { \beta } - \partial _ { \beta } A _ { \alpha } + [ A _ { \alpha } , A _ { \beta } ] _ { \star }
\Omega ^ { 2 } = ( c X _ { 1 } X _ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } / \rho , \hspace { 1 c m } c = \operatorname { c o s h } m
\! \! \! \! I \! = \! \int _ { \Sigma } \! d ^ { 3 } \! x \! \sqrt { \gamma } \left( \! R ( \gamma ) \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } \! \left( \left( \! D U \right) ^ { 2 } \! - \! e ^ { - 2 U } \! \! \left( \! D V \right) ^ { 2 } \right) \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } \! \left( \left( \! D \Phi \! \right) ^ { 2 } \! - \! e ^ { - 2 \Phi } \! \left( \! D \Psi \! \right) ^ { 2 } \right) \! - \! \left( \! D T \right) \! ^ { 2 } \! + \! e ^ { - ( U \! + \Phi ) } V ( T ) \! \right)
\begin{array} { l } { { \cal H } = \frac { N } { 2 } \left( \frac { P ^ { m } P _ { m } } { \sqrt { \beta } } + \frac { \beta _ { a b } } { \sqrt { \beta } } \Pi _ { r } ^ { a } \Pi _ { r } ^ { b } + \sqrt { \beta } \beta ^ { a b } \partial _ { a } X ^ { m } \partial _ { b } X _ { m } - \sqrt { \beta } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \beta } \beta ^ { a c } \beta ^ { b d } F _ { a b } ^ { r } F _ { c d } ^ { r } \right) } \\ { + \Pi _ { r } ^ { a } \partial _ { a } A _ { 0 } ^ { r } + N ^ { a } \left( \partial _ { a } X ^ { m } P _ { m } + \Pi _ { r } ^ { b } F _ { a b } ^ { r } \right) } \\ \end{array}
{ \cal T } _ { \sigma } = { \cal T } _ { C } ( X ) \otimes { \cal T } _ { C } ( Y )
( \alpha _ { 0 } ^ { I } ) _ { i j } = \frac { 1 } { \pi \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } } [ X ^ { I } , \cdot \ ] _ { i j } \ .
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname { l n } \left( 1 - e ^ { - a \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) \frac { d \delta _ { s _ { \parallel , \perp } } ( k ) } { d k } d k
\bar { \partial } _ { \dot { \alpha } } ^ { + } \theta ^ { \prime } { } ^ { \beta } = 0
S \sim \left( N ^ { 2 + \frac { 3 } { 5 } } E ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \; .
[ \rho ( f \bigotimes v ) \varphi ] _ { n } ( { \bf { x _ { 1 } } } \sigma _ { 1 } , { \bf { x _ { 2 } } } \sigma _ { 2 } , . . . . , { \bf { x _ { n } } } \sigma _ { n } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( { \bf { x _ { i } } } ) a ( \sigma _ { i } ) \varphi _ { n } ( { \bf { x _ { 1 } } } \sigma _ { 1 } , { \bf { x _ { 2 } } } \sigma _ { 2 } , . . . . , { \bf { x _ { n } } } \sigma _ { n } )
b \omega _ { + } = q \omega _ { + } b , ~ ~ ~ ~ d \omega _ { + } = q \omega _ { + } d + \mu \omega _ { 0 } b ,
r _ { + } ^ { 2 } = \frac { l ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 \tilde { \alpha } } { l ^ { 2 } } } \right) ,
\nabla ^ { ( H ) } Z _ { A B } = Z _ { I } P _ { A B } ^ { I }
d \omega \equiv \left[ g ^ { D } ( d X , d X ) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
s _ { a } = 2 \frac { ( s \xi ) } { \zeta ^ { 2 } } \xi _ { a } + 2 \frac { ( s \bar { \xi } ) } { \zeta ^ { 2 } } \bar { \xi } _ { a } - ( s n ) n _ { a } , \qquad \zeta = 1 - z \bar { z }
( \sum _ { i = 1 } ^ { N } a _ { i } \theta _ { i } ) ^ { p + 1 } = 0 \; .
k _ { 2 } ^ { \mu } [ T _ { \mu \nu } ^ { ( 1 ) a b } + T _ { \mu \nu } ^ { ( 2 ) a b } ] = - g ^ { 2 } f ^ { a b c } \overline { { v } }
j ( x ; z ) \Phi _ { h } ( y , \bar { y } ; w , \bar { w } ) \sim \frac { 1 } { z - w } \left\{ ( y - x ) ^ { 2 } \partial _ { y } + 2 h ( y - x ) \right\} \Phi _ { h } ( y , \bar { y } ; w , \bar { w } ) ,
+ \sum _ { l = t + 1 } ^ { r - 2 } q ^ { \theta ( l > t + 1 ) \sum _ { \nu - r + t + 1 } ^ { \nu - r + l - 1 } n _ { i } ^ { \prime } } \prod _ { \stackrel { i = 1 } { i \neq \nu - r + t } } ^ { \nu - 2 } \left[ \begin{array} { c } { n _ { i } ^ { \prime } + \tilde { n } _ { i } - V _ { i , r } + \theta ( i > \nu - r + l ) + \theta ( t > 0 ) \sum _ { m = 0 } ^ { t - 1 } \delta _ { i , \nu - r + m } } \\ { n _ { i } ^ { \prime } - \delta _ { i , \nu - r + l } } \\ \end{array} \right] _ { q } \times
{ F } _ { \mathrm { r e n } } ^ { \infty } = - \frac 1 { 8 \pi ^ { 2 } } \int \! { \mathrm d } ^ { 3 } x \, { g } ^ { 1 / 2 } { \mathrm t r } \Big \{ R _ { i j } \gamma _ { 1 } ( - \triangle ) R ^ { i j } + R \gamma _ { 2 } ( - \triangle ) R + { \mathrm { O } } [ \Re ^ { 3 } ] \Big \} .
\partial _ { \rho } G _ { \mu \nu } = \partial _ { \rho } G _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } + \gamma _ { \mu \nu } u _ { \rho } \theta ( u ) .
G _ { \mathrm { \tiny ~ m u l t i p l e t } } = U ( 1 ) \times S U ( 2 ) \times S U ( 2 j + 1 ) _ { f } \times C P .
K _ { I } ^ { ( h ) } ( \theta ) = \sqrt { \ell ^ { \prime } } \; \; \frac { \textrm { s n } \left[ \frac { \textbf { K } } { i \pi } \left( \theta - i \frac { \pi } { 2 } \right) \right] } { \textrm { c n } \left[ \frac { \textbf { K } } { i \pi } \left( \theta - i \frac { \pi } { 2 } \right) \right] } \cdot \frac { 1 - \frac { h ^ { 2 } } { 2 \textrm { M } } - \textrm { s n } \left( \frac { i \textbf { K } } { \pi } 2 \theta \right) } { 1 - \frac { h ^ { 2 } } { 2 \textrm { M } } + \textrm { s n } \left( \frac { i \textbf { K } } { \pi } 2 \theta \right) } \, , \qquad \sqrt { 2 \textrm { M } } \leq h < \infty \, ,
d A = \sqrt { E G - F ^ { 2 } } \hspace { 0 . 2 c m } d u \hspace { 0 . 1 c m } d v = | \operatorname { s i n } \phi | \hspace { 0 . 2 c m } d u \hspace { 0 . 1 c m } d v
z _ { * } = f ^ { - 1 } ( 1 / r ) = F ( 1 / r ) \, , \quad \alpha _ { * } = r \, .
d S \equiv 2 i \, d z \, d \bar { z } / \left( 1 + | z | ^ { 2 } \right) ^ { 2 }
z = \frac { 1 } { a } ( w - w _ { 0 } ) - \frac { b } { a ^ { 3 } } ( w - w _ { 0 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { a ^ { 5 } } ( a c - 2 b ^ { 2 } ) ( w - w _ { 0 } ) ^ { 3 } - \frac { 1 } { a ^ { 7 } } ( a ^ { 2 } d - 5 a b c + 5 b ^ { 3 } ) ( w - w _ { 0 } ) ^ { 4 } + \ldots
D _ { a } X _ { \mu } ( \delta _ { \mu \nu } I - i [ X _ { \mu } , X _ { \nu } ] ) ^ { - 1 } D _ { b } X _ { \nu } = ( I - [ X , Y ] ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( D _ { a } X _ { \mu } D _ { b } X _ { \mu } + i D _ { a } X _ { \mu } [ X _ { \mu } , X _ { \nu } ] D _ { b } X _ { \nu } ) .
\stackrel { . } { \theta } ^ { a } = \left\{ \theta ^ { a } , H _ { 2 } ^ { \left( 1 \right) } \right\} = 0 ,
\alpha _ { w e a k } ^ { u _ { R } } = \frac { 4 } { 9 } \alpha _ { e l } \frac { \operatorname { s i n } ^ { 2 } \theta _ { W } } { \operatorname { c o s } ^ { 2 } \theta _ { W } } .
c ^ { a } = \hat { \eta } ^ { a } \ \ \ , \ \ \ b _ { a } = \frac { i } { \hbar } \hat { { \cal P } } _ { a } \ \ \ , \ \ \ a = 1 , 2 \ \ \ ,
\left\langle \int d ^ { 2 } x : \Psi ^ { \dagger } ( x ) M \Psi ( x ) : \right\rangle = - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { \mathrm { o c c u p i e d } } \int d ^ { 2 } x \psi _ { E } ^ { \dagger } ( x ) M \psi _ { E } ( x ) - \sum _ { \mathrm { u n o c c u p i e d } } \int d ^ { 2 } x \psi _ { E } ^ { \dagger } ( x ) M \psi _ { E } ( x ) \right) .
\begin{array} { l } { \delta \theta ^ { \alpha } = \epsilon ^ { \alpha } , \qquad \delta \bar { \theta } _ { \alpha } = \bar { \epsilon } _ { \alpha } , } \\ { \delta x ^ { \bar { \mu } } = - i \bar { \epsilon } _ { \alpha } \tilde { \Gamma } ^ { { \bar { \mu } } \alpha \beta } \bar { \theta } _ { \beta } + i \epsilon ^ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \bar { \mu } } \theta ^ { \beta } , \qquad \delta x ^ { 1 1 } = 0 , } \\ \end{array}
u = \phi _ { A B } \phi _ { B A } , v = \phi _ { A C } \phi _ { C A } , w = \phi _ { A D } \phi _ { D A } , t = \phi _ { A B } \phi _ { B D } \phi _ { D A }
Z _ { \alpha _ { 1 } , j } ^ { \alpha _ { 0 } } R _ { \beta _ { 0 } } ^ { j } + F _ { \beta _ { 0 } \gamma _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 0 } } Z _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \gamma _ { 0 } } = - Z _ { \gamma _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } G _ { \beta _ { 0 } \alpha _ { 1 } } ^ { \gamma _ { 1 } } ,
\Gamma ^ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { k } } \equiv { \frac { 1 } { k ! } } \Gamma ^ { [ \mu _ { 1 } } . . . \Gamma ^ { \mu _ { k } ] }
\left( M ^ { T } \overline { M } \right) _ { j k } = 2 \pi D _ { j j } K _ { N } ( \theta _ { j } , \theta _ { k } ) \bar { D } _ { k k }
\Psi _ { \bf D } \rightarrow \operatorname { e x p } { ( \phi _ { 1 } E _ { 1 } - \theta _ { 2 } E _ { 2 } + \phi _ { 3 } E _ { 3 } + \theta _ { 1 } F _ { 1 } + \phi _ { 2 } F _ { 2 } + \theta _ { 3 } F _ { 3 } ) } \cdot \Psi _ { \bf D } ,
\Delta ( \varphi ) = \varphi + \tilde { \varphi }
F _ { 1 2 } = 2 \pi i / ( L _ { 1 } L _ { 2 } ) \tau _ { 3 } \, , \, F _ { 3 4 } = 2 \pi i / ( L _ { 3 } L _ { 4 } ) \tau _ { 3 }
\left( d - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \omega _ { a b } \gamma ^ { a b } + \Omega \right) \kappa = 0 \, .
F _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } } = e \, \epsilon _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } }
w _ { R } ( E ) \simeq { \frac { 1 } { \sigma _ { R } \sqrt { \pi } } } e ^ { - { \frac { ( E - E _ { R } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { R } ^ { 2 } } } } ~ ~ ~ .
{ \cal H } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \pi _ { \phi } - e A _ { 1 } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \pi _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \phi ^ { 2 } + \pi _ { 1 } A _ { 0 } ^ { \prime } + e \phi ^ { \prime } A _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } a e ^ { 2 } ( A _ { 0 } ^ { 2 } - A _ { 1 } ^ { 2 } ) .
\sum _ { i = 1 } ^ { 3 } T r ( \gamma _ { \theta , 7 _ { i } } ) + 3 T r ( \gamma _ { \theta , 3 } ) = 0 .
| \Upsilon | = M ^ { - 1 } | Z _ { 1 } Z _ { 2 } | \, .
d s ^ { 2 } \rightarrow - K _ { \tau } e ^ { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } - 6 ) \tau } d \tau ^ { 2 } + K _ { x } e ^ { - ( \lambda _ { 3 } + 2 ) \tau } d \vec { x } ^ { 2 } + K _ { y } e ^ { ( \lambda _ { 1 } - 2 ) \tau } d \vec { y } ^ { 2 }
\hat { \varrho } _ { \mathrm { f l d } } = \hat { \varrho } _ { m } \left[ 1 + \zeta \left( { \frac { \hat { c } } { c } } \right) ^ { 2 } \right] + \hat { \varrho } _ { r } \left( { \frac { \hat { c } } { c } } \right) ^ { 2 } , \ \ \ \ \ \ \ \hat { \wp } _ { \mathrm { f l d } } = { \frac { 1 } { 3 } } \hat { \varrho } _ { r } \left( { \frac { \hat { c } } { c } } \right) ^ { 2 } ,
d e t \left| \begin{array} { c c c } { Q ( \lambda - 3 i / 2 ) } & { Q ( \lambda \pm i / 2 ) } & { Q ( \lambda + 3 i / 2 ) } \\ { P ( \lambda - 3 i / 2 ) } & { P ( \lambda \pm i / 2 ) } & { P ( \lambda + 3 i / 2 ) } \\ { R ( \lambda - 3 i / 2 ) } & { R ( \lambda \pm i / 2 ) } & { R ( \lambda + 3 i / 2 ) } \\ \end{array} \right| = T ^ { \pm } ( \lambda ) .
\left[ - [ f ( p ) \partial _ { p } ] ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } + 2 \, a ( i \, f ( p ) \partial _ { p } - \xi ) + 2 \, b ( v ( p ) - \gamma ) - \mu ^ { 2 } \right] \Psi ( p ) = 0
\left( \frac { i \phi } { { 2 \pi } } \right) ^ { 2 n } \int _ { M } \mathrm { e } ^ { i \phi H } \frac { \omega ^ { n } } { n ! } = \sum _ { d H = 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { i \phi H } { { \sqrt { \operatorname* { d e t } \omega } } } } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \mathrm { P f } H } } .
B \times J = \pi \frac { 2 + 2 \operatorname { c o s } 2 v s + 2 \operatorname { c o s h } 2 s c _ { 1 } + 2 \operatorname { c o s h } 2 s c _ { 2 } - 8 \operatorname { c o s } v s ( \operatorname { c o s h } s c _ { 1 } \operatorname { c o s h } s c _ { 2 } ) } { 4 \operatorname { s i n h } s c _ { 1 } \operatorname { s i n h } s c _ { 2 } \operatorname { s i n } s v }
\left. \prod _ { p \in Y _ { j } } \, \frac { e \beta } { 1 - \frac { e \beta } { 2 } } \leq e ^ { - N _ { p } ( Y _ { j } ) \, \operatorname { l o g } ( \frac { 1 } { 2 e \beta } ) } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ \beta < \frac { 1 } { e } \ , \right.
\frac { \partial \Sigma } { \partial m } = \mathcal { B } _ { \Sigma } \Lambda \; ,
d s ^ { 2 } / \alpha ^ { \prime } = \frac { U } { R _ { 5 } f _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } ) + \frac { U f _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } { R _ { 5 } } ( d x _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 5 } ^ { 2 } ) + U R _ { 5 } f _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \left( \frac { d U ^ { 2 } } { U ^ { 2 } } + d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \right) .
L _ { 0 } = \mathrm { D i a g o n a l } ( 0 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , \ldots )
\phi _ { i } = \left( \begin{array} { c c c c c } { a _ { i } ^ { 1 } } & { } & { } & { } & { } \\ \end{array} \right) ,
z _ { \nu } ^ { ( 3 ) } + p \ddot { z } _ { \nu } + q \dot { z } _ { \nu } + r \lambda _ { \nu } = 0 \; .
\partial _ { \mu } V _ { \mu } ^ { a } = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \partial _ { \mu } W _ { 5 \mu } ^ { a } = 0 .
u _ { t _ { 2 n + 1 } } = { \cal K } _ { 2 n + 1 } , ( n = 1 , 2 , \cdots ) .
t _ { 2 } = \operatorname { t a n } \left( \frac { \pi } { 2 4 } \right) T _ { 0 } T _ { 2 } T _ { 3 } / \sqrt { 3 } = \operatorname { t a n } \left( \frac { \pi } { 2 4 } \right) \operatorname { t a n } \left( \frac { 5 \pi } { 2 4 } \right) \operatorname { t a n } \left( \frac { \pi } { 1 2 } \right)
\theta ^ { \prime } ( u ^ { \prime } ) = D ( \Lambda , u ) \theta ( u ) D ^ { - 1 } ( \Lambda , u ) .
y _ { \alpha _ { 1 } } = \left( \begin{array} { c } { \pi } \\ { \varphi } \\ \end{array} \right) ,
\mu ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } N x ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + e ^ { 2 \gamma \phi } \left[ N ( K ^ { 2 } + H ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 8 x ^ { 2 } } \left( \left( K ^ { 2 } + H ^ { 2 } - 4 \right) ^ { 2 } + 1 2 K ^ { 2 } H ^ { 2 } \right) \right] \ ,
g | \Lambda \rangle = \xi h | \Lambda \rangle = \xi | \Lambda \rangle e ^ { i \phi ( h ) } .
\langle 0 | ( X _ { 1 1 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } | 0 \rangle \langle 0 | ( P _ { 1 1 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } | 0 \rangle \geq 1 \ .
\sum _ { i = 1 } ^ { d + 2 } { x _ { i } } ^ { ( d + 2 ) } - ( d + 2 ) \, \psi \, { x _ { 1 } x _ { 2 } \cdot \cdot \cdot x _ { d + 2 } } = 0
\Delta s = \left( \frac { g _ { \star \mathrm { R H } } } { g _ { \star \mathrm { d o m } } } \right) ^ { 1 / 4 } \, \left( \frac { H _ { \mathrm { d o m } } } { H _ { \mathrm { R H } } } \right) ^ { [ 4 - 3 ( 1 + w ) ] / [ 2 ( 1 + w ) ] } \, \Omega _ { r } ^ { - 3 / 4 } .
\Delta S _ { M } ^ { \mathrm { n l } } ( \lambda = 0 ) = \frac { 5 M \kappa ^ { 2 } } { 1 5 3 6 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } R \operatorname { l n } ( - \nabla ^ { 2 } ) \delta ^ { 3 } ( { \bf x } ) ,
C _ { S R G } ^ { ( g ) } = \frac { 1 } { \sqrt { X } } X ^ { + } X ^ { - } - 8 \lambda ^ { 2 } \sqrt { X } \, .
\Phi ( \omega ) \sim { \frac { 2 \omega ^ { D - 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { c _ { n } } { \Gamma \left( { \frac { D - 1 } { 2 } } - n \right) } } \omega ^ { - 2 n } ,
T ^ { 0 } = \frac { 1 } { 4 \pi \kappa _ { B } k } \frac { ( d - 2 k - 1 ) } { r _ { + } } .
\begin{array} { c } { { \cal L } = g _ { a { \bar { b } } } \left( { \dot { z } } ^ { a } { \dot { \bar { z } } } ^ { b } + \frac 1 2 \eta _ { k } ^ { a } \frac { D { \bar { \eta } } _ { k } ^ { \bar { b } } } { d \tau } + \frac 1 2 \frac { D \eta _ { k } ^ { a } } { d \tau } \bar { \eta } ^ { \bar { b } } \right) - } \\ { - g ^ { a { \bar { b } } } ( G _ { a } G _ { \bar { b } } + { U } _ { a } { \bar { U } } _ { \bar { b } } ) + } \\ { + i U _ { a ; b } \eta _ { 1 } ^ { a } \eta _ { 2 } ^ { b } - i { \bar { U } } _ { \bar { a } ; \bar { b } } { \bar { \eta } } _ { 1 } ^ { \bar { a } } { \bar { \eta } } _ { 2 } ^ { \bar { b } } + R _ { a \bar { b } c \bar { d } } \eta _ { 1 } ^ { a } \bar { \eta } _ { 1 } ^ { b } \eta _ { 2 } ^ { a } \bar { \eta } _ { 2 } ^ { d } . } \\ \end{array}
\Lambda = D _ { 0 } \otimes \Lambda _ { 2 p } ^ { C } = \mathrm { d i a g } \left( d _ { 1 } \Lambda _ { 2 p } ^ { C } , \ldots , d _ { s } \Lambda _ { 2 p } ^ { C } \right) .
c ( z ) \equiv ( a \ast b ) ( z ) = \left( e ^ { \pi i \theta ^ { j k } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial } { \partial y ^ { k } } } a ( x ) b ( y ) \right) _ { x = y = z } \, .
J ~ \equiv ~ \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } \epsilon _ { a b c d e } \phi ^ { e } \nabla _ { \alpha } \phi ^ { a } \nabla _ { \beta } \phi ^ { b } \nabla _ { \gamma } \phi ^ { c } \nabla _ { \delta } \phi ^ { d } ~ ,
I _ { g } = \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } \int d ^ { 2 } x \epsilon ^ { \mu \nu } \Bigl ( \eta _ { a } ( \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { a } + \omega _ { \mu } \epsilon _ { ~ b } ^ { a } e _ { \nu } ^ { b } ) + \eta _ { 2 } \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } + \eta _ { 3 } ( \partial _ { \mu } a _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { a b } e _ { \mu } ^ { a } e _ { \nu } ^ { b } ) \Bigr ) \, .
\int _ { \beta } \Omega ^ { ( 1 , 0 ) } = \frac { \sqrt { 6 } } { \pi } ( \pm \sqrt { B ^ { \prime } } ) ^ { - 1 / 2 } \, ( \pm k _ { \mp } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \, \, { \bf K } ( k _ { \mp } ^ { - 2 } )
{ \frac { d H _ { 2 } } { d t } } = \nu \int \sp { 1 / a } k \sp 2 H _ { k } d k \propto \nu a \sp { - 6 - 4 \Delta _ { \psi } } \propto \nu \sp { \frac { 3 + \Delta _ { \phi } + \Delta _ { \psi } } { \Delta _ { \phi } - \Delta _ { \psi } } } \, .
X \Psi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } m } ( \mu , \nu , \varphi ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) = - \alpha \frac { n _ { 1 } - n _ { 2 } + \frac { \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } } { 2 } } { n + \frac { \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } } { 2 } } \, \Psi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } m } ( \mu , \nu , \varphi ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) ,
\left( \displaystyle \frac { \operatorname { s i n h } \displaystyle \frac { \gamma } { \pi } \left[ \vartheta _ { j } + \Theta + \displaystyle \frac { i \pi } { 2 } \right] \operatorname { s i n h } \displaystyle \frac { \gamma } { \pi } \left[ \vartheta _ { j } - \Theta + \displaystyle \frac { i \pi } { 2 } \right] } { \operatorname { s i n h } \displaystyle \frac { \gamma } { \pi } \left[ \vartheta _ { j } + \Theta - \displaystyle \frac { i \pi } { 2 } \right] \operatorname { s i n h } \displaystyle \frac { \gamma } { \pi } \left[ \vartheta _ { j } - \Theta - \displaystyle \frac { i \pi } { 2 } \right] } \right) ^ { N } = - e ^ { 2 i \omega } \prod _ { k = 1 } ^ { M } \displaystyle \frac { \operatorname { s i n h } \displaystyle \frac { \gamma } { \pi } \left[ \vartheta _ { j } - \vartheta _ { k } + i \pi \right] } { \operatorname { s i n h } \displaystyle \frac { \gamma } { \pi } \left[ \vartheta _ { j } - \vartheta _ { k } - i \pi \right] }
v ( \infty ) = \frac { L ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int \mathrm { T r } \; F _ { ( \infty ) } ^ { 2 } = 1 .
V ( \Phi ) = \frac { m ^ { 2 } } { 2 } | \Phi | ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 ! } | \Phi | ^ { 4 } ,
R _ { \hat { g } } ( z , \bar { z } ) = - 1 \to R _ { g } ( z , \bar { z } ) = - e ^ { 4 \pi G ( z , w ) } \left( 1 + 8 \pi e ^ { - \varphi ( z , \bar { z } ) } \delta ^ { ( 2 ) } ( z - w ) + { \frac { 1 } { 4 \chi ( \Sigma ) } } \right) .
\left\{ \begin{array} { l } { \tilde { x } \, x ^ { \prime } = \bar { q } \, \overline { { R } } \, x \, \tilde { x } ^ { \prime } \, , } \\ { d \tilde { x } \, x ^ { \prime } = \bar { q } \, \overline { { R } } \, x \, d \tilde { x } ^ { \prime } - \lambda \, \bar { q } \, d x \, \tilde { x } ^ { \prime } \, , } \\ { \tilde { x } \, d x ^ { \prime } = \bar { q } \, R \, d x \, \tilde { x } ^ { \prime } \, , } \\ { d \tilde { x } \, d x ^ { \prime } = - \bar { q } \, R \, d x \, d \tilde { x } ^ { \prime } \, ; } \\ \end{array} \right.
j _ { [ e , m , b ] } ^ { \nu } = j _ { [ e ] } ^ { \nu } + j _ { [ m ] } ^ { \nu } * K _ { [ e ] } + j _ { [ b ] } ^ { \nu } * \varepsilon _ { 0 } * K _ { [ v ] }
- { \frac { 8 \pi } { 1 5 } } < \mathrm { a r g } ( \eta ) < { \frac { 8 \pi } { 1 5 } }
( c _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + c _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + c _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) | V _ { 3 } \rangle = 0 , \ \ c _ { 0 } | I \star A \rangle = | I \star ( c _ { 0 } A ) \rangle , \ \ \forall A
\tilde { R } _ { \xi } ^ { + } = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } \left[ \frac { \alpha ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) \mathcal { A } _ { f } } { ( q - 1 ) } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { 0 } ^ { + } .
m _ { j } = 8 \, p ^ { \frac { r } { 6 s } } \left\{ \sum _ { a } \operatorname { s i n } \frac { a \pi } { g } + \frac { 4 } { 3 } ( p ^ { \frac { r } { 6 s } } ) ^ { 2 } \sum _ { a } \operatorname { s i n } ^ { 3 } \frac { a \pi } { g } + \ldots \right\} ,
J _ { \mu } = \epsilon _ { \mu \nu \rho } x ^ { \nu } p ^ { \rho } + S c ^ { 2 } \frac { p _ { \mu } } { \sqrt { p ^ { 2 } } }
{ \cal F } = - { \frac { 1 } { \sqrt { c _ { 0 } } g ^ { 2 } ( 1 + \gamma ) } } ( 1 - 2 g ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } ) ^ { ( \gamma + 1 ) / 2 }
{ \Lambda } ( l ) = \frac { 1 } { N } { \times } ( ~ M i n i m u m ~ o f ~ s _ { F } )
\frac { \partial S } { \partial \xi } = \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y \, A _ { i } ^ { A } ( x ) W ( x - y ) \partial _ { i } D _ { j } ^ { A B } \frac { \delta S } { \delta A _ { j } ^ { B } ( y ) } .
G _ { a b } = \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \left( \frac { \partial { \cal L } _ { 1 } } { \partial g ^ { a b } } - \partial _ { c } \frac { \partial { \cal L } _ { 1 } } { \partial ~ \partial _ { c } g ^ { a b } } \right) .
( \mu \frac { \partial } { \partial \mu } + \beta _ { g } \frac { \partial } { \partial g } + \beta _ { \lambda } \frac { \partial } { \partial \lambda } - \gamma _ { M } \frac { \partial } { \partial \operatorname { l n } M ^ { 2 } } + \gamma ) F _ { n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ; m , M , g , \lambda , \mu ) = 0 ,
( \bar { \varepsilon } _ { + } ^ { a } ) ^ { \dagger } ( \bar { \varepsilon } _ { - } ^ { a } ) = 0 ; \hspace { 1 . 0 c m } ( \bar { \varepsilon } _ { + } ^ { a } ) ^ { \dagger } ( \bar { \varepsilon } _ { + } ^ { a } ) = ( \bar { \varepsilon } _ { - } ^ { a } ) ^ { \dagger } ( \bar { \varepsilon } _ { - } ^ { a } ) = 1 .
[ T _ { i } , T _ { j } ] = c _ { i j k } T _ { k } \ , \quad [ T _ { i } , T _ { j } ^ { \prime } ] = c _ { i j k } T _ { k } ^ { \prime } \ , \quad [ T _ { i } ^ { \prime } , T _ { j } ^ { \prime } ] = - c _ { i j k } T _ { k } \ .
( 1 - \gamma ^ { 1 } ) k _ { n } ( 0 , x ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { - i } & { 1 } \\ \end{array} \right) k _ { n } ( 0 , x ^ { \prime } ) = 0 .
\tilde { \Gamma } ( x ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } }
f ( Q ) = F ( u ) : = \frac { 1 } { 4 0 } ( u - 6 ) ( u - 1 2 ) ( u - 1 5 )
\tilde { Z } _ { i j } = i \sigma _ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { | Z | } & { 0 } \\ { 0 } & { | Z | } \\ \end{array} \right) \ , \qquad \tilde { Z } _ { i j } = i \sigma _ { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { | Z | } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { | Z | } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { | Z | } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { | Z | } \\ \end{array} \right) \ ,
\vert \Psi ( t ) \rangle = \sum _ { n } C _ { n } \vert e _ { n } , t \rangle e ^ { i \int d t \langle e _ { n } , t \vert i \frac { \partial } { \partial t } - \hat { H } \vert e _ { n } , t \rangle } .
Z _ { 3 } = \frac { ( m L ) ^ { 3 } } { 3 ! } I _ { 1 } ^ { 4 } - \frac { ( m L ) ^ { 2 } } { 2 } I _ { 1 } I _ { 2 } + \frac { ( m L ) } { 3 } I _ { 3 } \, \, \, ,
\chi _ { \Lambda } ( C _ { m } ^ { \Lambda _ { 0 } } ) = \sum _ { ( \lambda + \lambda _ { 0 } ^ { \prime } , \kappa + \kappa _ { 0 } , - s ) \in D ^ { + } } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \, m _ { \lambda _ { 0 } ^ { \prime } , s } \, \alpha _ { \lambda _ { 0 } ^ { \prime } , s } ^ { m } ( \Lambda ) \frac { D _ { q } [ ( \lambda + \lambda _ { 0 } ^ { \prime } , \kappa + \kappa _ { 0 } , - s ) ] } { D _ { q } [ ( \lambda , \kappa , 0 ) ] } \, , ~ ~ ~ m \in { \bf Z } ^ { + }
a _ { i } a _ { j } ^ { \dagger } - \hat { q } a _ { j } ^ { \dagger } a _ { i } = \delta _ { i j } , \qquad \hat { q } | \pm > = \pm 1 | \pm > .
\left( \begin{array} { c c } { - \operatorname { c o s } 2 \phi } & { - \operatorname { s i n } 2 \phi } \\ { \operatorname { s i n } 2 \phi } & { - \operatorname { c o s } 2 \phi } \\ \end{array} \right)
\tilde { A } _ { l } ( { \bf x } ) = A _ { l } ( { \bf x } ) ,
\vert \nu _ { A } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { A } \vert ^ { 2 } } } } \left( \begin{array} { c } { - \nu _ { A } } \\ { 1 } \\ \end{array} \right) \quad , \quad \langle \nu _ { A } \vert = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { A } \vert ^ { 2 } } } } \Bigl ( - \nu _ { A } ^ { * } \; \quad \; 1 \Bigr ) \; .
A ( x _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } ) = \cdots + g _ { A B C } \, \frac { 1 } { ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \eta _ { A } + \eta _ { B } - \eta _ { C } ) } } C ^ { \eta _ { C } , \eta _ { A } - \eta _ { B } } ( x _ { 1 2 } , \partial _ { 2 } ) C ( x _ { 1 } ) + \cdots { } .
\rho ( \phi ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \; \frac { \theta \left( 4 R ( t ) - \phi ^ { 2 } \right) } { \sqrt { 4 R ( t ) - \phi ^ { 2 } } }
\rho \partial _ { \pm } F = \pm \partial _ { \pm } ( \tau \rho F ) .
e ^ { i \theta } = { \frac { p - q \tau ^ { * } } { | p - q \tau ^ { * } | } } ,
T ( \xi ) = e ^ { i \xi _ { i } \Sigma ^ { i } } = e ^ { 2 i \xi _ { i } { \cal S } ^ { i } } \, , \quad \xi = \xi _ { i } f ^ { i } \in L _ { F } ,
r _ { 2 } = r _ { 1 } ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ t _ { 2 } = t _ { 1 } ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ \phi _ { 2 } = \phi _ { 1 } + \gamma ~ ~ ( \phi _ { 1 } > 0 ) ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ \phi _ { 2 } = \phi _ { 1 } - \gamma ~ ~ ( \phi _ { 1 } < 0 ) .
( \sum _ { n = 1 } ^ { 1 5 } ( - 1 ) ^ { n } - 1 ) ( \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ) t r \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } F _ { \mu \nu } F _ { \alpha \beta } = - 2 ( \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ) t r \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } F _ { \mu \nu } F _ { \alpha \beta }
\Sigma = S ^ { \mathrm { N = 4 } } + S _ { \mathrm { e x t } } + S _ { \mathrm { g f } } \, \, ,
\tilde { L } _ { 0 } ^ { k , k } ( e ^ { x } ) = \sum _ { d = 0 } ^ { \infty } \frac { ( k d ) ! } { ( d ! ) ^ { k } } e ^ { d x } ,
\int d u \; 1 = 1 , \ \ \int d u \; u _ { ( A _ { 1 } } ^ { + } \ldots u _ { A _ { p } } ^ { + } u _ { B _ { 1 } } ^ { - } \ldots u _ { B _ { q } ) } ^ { - } = 0 \ \mathrm { f o r ~ p ~ a n d / o r ~ q > 0 ~ } \; .
{ \displaystyle x = \frac { 3 / 2 e _ { 1 } ( \tau ) } { 3 / 2 e _ { 1 } ( \tau ) - \hat { u } } , } \hspace { 1 c m } { \displaystyle \sqrt { y } = - \frac { e _ { 2 } ( \tau ) - e _ { 3 } ( \tau ) } { 3 e _ { 1 } ( \tau ) } , }
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \theta ) ( A ^ { \mu } + \partial ^ { \mu } \theta ) + A ^ { \mu } \partial _ { \mu } B - \partial _ { \mu } \bar { \cal C } \partial ^ { \mu } { \cal C } - \frac { 1 } { 2 } \alpha B ^ { 2 } .
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g } R \, ,
d s ^ { 2 } = - \frac { d W ^ { 2 } } { \operatorname { s i n h } ^ { 2 } W \operatorname { l n } ^ { 2 / 3 } T _ { c } ^ { 2 } } + \operatorname { l n } ^ { 2 / 3 } T _ { c } ^ { 2 } \sum _ { j = 2 } ^ { 4 } d x _ { j } ^ { 2 } ,
I = \int _ { \Omega } \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon _ { \mu \nu \lambda } B _ { \mu } ^ { * } ( \partial _ { \nu } - i g a _ { \nu } ) B _ { \lambda } + M B _ { \mu } ^ { * } B ^ { \mu } + \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } \right) \; ,
\{ \theta ^ { a } , \theta ^ { b } \} = \delta ^ { a b } \sqrt { \hbar \alpha ^ { \prime } }
\Omega ( \gamma _ { r } | A _ { + } \rangle ) = ( - 1 ) ^ { - r - \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { r } ( \Omega | A _ { + } \rangle ) .
S [ \vec { r } ] \ = \ \int d ^ { D } \! x \ { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla _ { \! x } \vec { r } ) ^ { 2 } \ + \b \ \int d ^ { D } \! x \int d ^ { D } \! y \ \delta ^ { d } ( \vec { r } ( x ) - \vec { r } ( y ) ) \ .
\rho = \rho _ { 0 } ~ R ^ { \, \gamma ( 1 - D ) } ~ ~ .
\Pi _ { \sigma } ( p )
\langle \! \langle \psi _ { i } | \psi _ { j } \rangle = \langle \psi _ { i } ^ { * } | \psi _ { j } \rangle \ ,
P ^ { - } = { \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d k } { k ^ { 2 } } } \left[ b ^ { \dag } ( k ) b ( k ) + d ^ { \dag } ( k ) d ( k ) \right] + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d p } { p ^ { 2 } } } a ^ { \dag } ( p ) a ( p ) \ .
\tau = \frac { \lambda } { 2 } ( T _ { 0 } ^ { \prime } - T _ { 0 } )
\left( S _ { n } ( \rho a ) - S _ { n } ^ { ' } ( \rho a ) \right) \left( S _ { n } ( - \rho R ) - S _ { n } ^ { ' } ( - \rho R ) \right) .
\begin{array} { l l } { { \cal L } _ { K } = } & { \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - ( 1 - g ^ { 2 } \zeta \eta ^ { 2 } ) \tilde { G } _ { \mu } \tilde { G } ^ { \mu } + 2 ( m + g h \zeta \eta ^ { 2 } ) A _ { \mu } \tilde { G } ^ { \mu } + } \\ \end{array}
T _ { m } ( x ) \equiv \int _ { 0 } ^ { x } d x ^ { \prime } ( t a n h \; x ^ { \prime } ) ^ { m } = - \frac { ( t a n h \; x ) ^ { m - 1 } } { m - 1 } + T _ { m - 2 } ( x ) \; .
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \mu } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \biggl ( \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - a \biggr ) \mu = 0 , \quad a \equiv - \frac { \pi } { \epsilon \sqrt { b _ { 1 } } } < 0 .
\nu = \frac { g \beta } { 2 \pi } \int E ( x ) d x = - \frac { g } { 2 \pi T } [ A _ { 0 } ( \infty ) - A _ { 0 } ( - \infty ) ] \ = ~ 1
\sum _ { s = 0 } ^ { n - l - 1 } s _ { s } s _ { 2 n - l - m - s } + s _ { n - l } s _ { n - m } +
( D _ { 1 } + i D _ { 2 } ) { \psi } _ { + } ( \vec { x } ) = 0 .
\operatorname { s i n } ^ { 2 } ( \pi k / N ) \sum _ { a = 1 } ^ { K } \, I _ { a b } \, r _ { a , k } = 0
D _ { I } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { I } ^ { a } \left( | h _ { a } | ^ { 2 } - | \tilde { h } _ { a } | ^ { 2 } \right) ,
\xi = \theta ^ { \alpha } \lambda _ { \alpha } \ .
j _ { \alpha } ^ { 0 } = \left( i \Gamma ^ { m } \theta \right) _ { \alpha } \cdot \Lambda _ { m } + \Lambda _ { \alpha } + \left( e m b ^ { * } \Delta _ { \alpha } \right) _ { \nu } \cdot \Lambda ^ { \nu } \quad ;
- \frac { R ( P ) } { 2 } | \Phi ( P ) | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | \Phi ( P ) | ^ { 4 } \ge 0
a _ { H } ^ { i j } ( x ) - \frac { 1 } { 3 } \delta ^ { i j } \delta ^ { k l } a _ { H } ^ { k l } ( x ) = U ( x ^ { o } ) a ^ { i j } ( x ) U ^ { - 1 } ( x ^ { o } ) ,
{ \frac { d n _ { i } ( \omega ) } { d \omega } } = { \frac { \omega } { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \alpha ~ e ^ { i \alpha \omega ^ { 2 } } \mathrm { T r } ~ e ^ { - i \alpha \bar { H } _ { i } ^ { 2 } } ~ ~ ~ .
V _ { 1 } ( t ) = \operatorname { e x p } \{ i { \frac { e } { \hbar c } } \int \int d ^ { 2 } x d ^ { 2 } x ^ { \prime } \sqrt { g ( x ) } J _ { 0 } ( x ) G ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) \partial _ { i } ^ { \prime } a _ { i } ^ { ( 1 ) } ( x ^ { \prime } ) \} .
A _ { 4 } \sim g _ { s } ^ { 2 } \frac { R _ { s } } { N _ { 1 } N _ { 2 } } \frac { s ^ { 2 } } { t }
G ^ { ( \rho ) } ( x , y ) : = \sum _ { n } \overline { { P _ { n } ^ { ( \rho ) } ( x ) } } P ^ { ( \rho ) n } ( y ) .
\mu = 1 / 2 + \nu , \mathrm { f o r ~ t y p e ~ I ~ b o u n d a r y ~ c o n d i t i o n s }
\cdot \left( 1 + \frac { 2 l ^ { 2 } \dot { l } ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } } { \Delta _ { + } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \Delta _ { + } } \left( \dot { l } ^ { 2 } + l ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } - \frac { 2 l \dot { l } H _ { + } } { \Delta _ { + } } \sqrt { l ^ { 2 } \dot { l } ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } + \Delta _ { + } ^ { 2 } + \Delta _ { + } ( \dot { l } ^ { 2 } + l ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } ) } \right) \right) \Bigr \}
W [ \varphi , \rho ] = W _ { + } ^ { ( 1 ) } [ \varphi ] + W _ { - } ^ { ( 1 ) } [ \rho ] + { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x \, B _ { + } \, B _ { - }
e ^ { 2 x } C ( x ) = \frac { B ( x ) \lambda _ { 1 } } { 2 } + \frac { C ( x ) \lambda _ { 1 } } { 4 } + \lambda _ { 1 } ,
V = - g D ^ { 2 } \Gamma _ { 4 } + H D ^ { 2 } \Gamma _ { 4 } .
( { } ^ { \mu _ { - } } \omega ) _ { + } = 0 , \qquad ( { } ^ { \mu _ { + } } \omega ) _ { - } = 0 .
: e ^ { i \hat { \varphi } ( \sigma ) } : \, = e ^ { i \hat { \chi } ^ { \dagger } ( \sigma ) } \, e ^ { i \hat { \chi } ( \sigma ) } .
I _ { 1 1 } = \int d ^ { 1 1 } x \sqrt { - g } ~ ( { \frac { R } { \kappa ^ { 2 } } } - 3 \, \hat { F } _ { [ 4 ] } ^ { 2 } ) + { 2 8 8 } \sigma \int \hat { F } _ { [ 4 ] } \wedge \hat { F } _ { [ 4 ] } \wedge \hat { A } _ { [ 3 ] }
P _ { \lambda m } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { J _ { m } ( y ) Y _ { m } ( x ) - Y _ { m } ( y ) J _ { m } ( x ) , } & { \lambda = 1 } \\ { J _ { m } ( y ) Y _ { m } ^ { \prime } ( x ) - Y _ { m } ( y ) J _ { m } ^ { \prime } ( x ) , } & { \lambda = 0 } \\ \end{array} \right.
n ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \phi = 0 \, ,
h = \Pi ^ { \mu } ( C \Gamma _ { \mu } \Gamma _ { 1 1 } ) _ { \alpha \beta } \Pi ^ { \alpha } \Pi ^ { \beta } { \cal F } ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } \quad , \quad p \geq 1 \quad .
\delta \psi ^ { i } = \epsilon _ { \alpha } \; b _ { \alpha } ^ { i } \; , \; \; \; \; \delta b _ { \alpha } ^ { i } = \epsilon _ { \gamma } \; ( \phi _ { [ \gamma \alpha ] } ^ { i } + i \delta _ { \gamma \alpha } \; \partial _ { - } \psi ^ { i } ) \; .
\left| < i _ { l + 1 } ^ { 1 } , k _ { l + 1 } ^ { 1 } , i _ { l + 1 } ^ { 2 } , k _ { l + 1 } ^ { 2 } | e ^ { - \frac { \varepsilon } { 2 } H _ { 1 , 2 } } | i _ { l } ^ { 1 } , k _ { l } ^ { 1 } , i _ { l } ^ { 2 } , k _ { l } ^ { 2 } > \right| .
\frac { \overline { { b } } } { \overline { { d } } } = \frac { 2 \overline { { B } } _ { 2 } } { 3 \overline { { B } } _ { 1 } }
O _ { K } = \left( \frac 1 8 \epsilon _ { \mu \nu \kappa \tau } G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \kappa \tau } ^ { a } \right) ^ { 2 }
\left[ \frac { 1 } { \omega } ( A _ { N - 6 } b ^ { 6 } ) ^ { 5 / 8 } \right] ^ { 6 } = \frac { ( A _ { N - 6 } b ^ { 6 } ) ^ { 6 } } { b ^ { 4 N } } \quad \Rightarrow \quad b ^ { 4 N } = 1 .
{ \frac { m ! } { ( 2 m - 1 ) ! ! } } \left\{ - 1 / 2 \partial _ { t } ^ { 2 } + { \cal Z } ^ { F _ { m - 2 } } ( t ) + \partial _ { t } ^ { - 1 } { \cal Z } ^ { F _ { m - 2 } } ( t ) \partial _ { t } \right\} ^ { m } \cdot 1 = t ,
\dot { \Psi } ^ { R } = i [ H ^ { R } , \Psi ^ { R } ] = \gamma _ { 0 } ( - i \gamma _ { i } \partial _ { i } - e \gamma _ { i } V _ { i } ^ { R } + m ) \Psi ^ { R } + { \frac { e } { 2 } } \left\{ \Psi ^ { R } , { \frac { 1 } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } J _ { 0 } \right\} ~ ,
( l e f t , \ r i g h t ) = ( N S + , \ N S + ) \oplus ( R + , \ R + ) .
\phi ^ { \prime \prime } - \rho ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 2 } ( T ^ { \prime } ) ^ { 2 } = 0
\lambda ( R , \Pi ) = R ( \sum _ { s = 1 } ^ { N } | \Pi ^ { s } | ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } .
\gamma _ { L } = \left( 1 - L ^ { - 2 } \right) \; c _ { \infty } , \quad \delta _ { L } = L ^ { - 1 } .
A _ { 1 } = - \frac { i \sqrt { 2 } G \hbar D _ { 1 } \operatorname { s i n } ( \frac { 1 } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } L ) } { ( E + p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) \left[ e ^ { - \frac { i } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } L } - \frac { ( G \hbar D _ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( E + p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } e ^ { \frac { i } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } L } \right] }
Y ^ { - } ( t , \sigma ^ { a } ) = { \frac { R } { N } } E t + \xi ( t , \sigma ^ { a } )
F ( z , x ) = \operatorname { e x p } - \int _ { a } ^ { b } \frac { d y } { 2 \pi i } \frac { 1 } { y - x } \operatorname { l o g } \bigg [ \frac { z - u ( y ) } { z - \bar { u } ( y ) } \bigg ] =
G _ { _ C } ( x , y ; A ) = \operatorname { e x p } \left[ - i e \int \! \! d z \; A _ { \mu } ( z ) j _ { + } ^ { \mu } ( z , x , y ) \right] P _ { + } G _ { F } ( x - y ) + P _ { - } G _ { F } ( x - y )
\left[ \widetilde R _ { 1 N } ^ { ( 2 ) } ( x ) \right] _ { \mathrm { ( I I I ) } } \simeq \beta ^ { N } \simeq \operatorname { e x p } \left( - { \frac { N ^ { 1 / 3 } } { \alpha _ { c } ^ { 2 } g ^ { 2 / 3 } } } \right) \rightarrow 0 .
\left[ \mathrm { V } _ { H _ { 1 } } ( \phi _ { i } ) , \mathrm { V } _ { H _ { 2 } } ( \phi _ { j } ) \right] = \delta _ { i j } \mathrm { V } _ { { \{ H _ { 1 } , H _ { 2 } \} } _ { \mathrm { p b } } } ( \phi _ { i } )
l ( 0 ) = r ( 0 ) = 0 \, , \qquad l ^ { \prime } ( \pi / 2 ) = r ^ { \prime } ( \pi / 2 ) = 0 \, .
\varepsilon _ { i j } D _ { i } \phi ^ { a } = \pm \varepsilon ^ { a b c } D _ { j } \phi ^ { b } \phi ^ { c } ,
\Omega ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ; b _ { 0 } , b _ { 1 } ) = \left\langle { \frac { \mathrm { D e t } ( 1 - a _ { 1 } U ) \, \mathrm { D e t } ( 1 - b _ { 1 } \bar { U } ) } { \mathrm { D e t } ( 1 - a _ { 0 } U ) \, \mathrm { D e t } ( 1 - b _ { 0 } \bar { U } ) } } \right\rangle \; .
C ( r _ { A } , r _ { + } ) = \alpha _ { 4 } ( \alpha _ { 4 } + 2 ) P ^ { 1 3 } ( P ^ { 2 3 } - P ^ { 1 2 } )
S _ { R S T } = - \frac { \kappa } { \pi } \int d ^ { 2 } x \; \phi \partial _ { + } \partial _ { - } \rho
\alpha _ { A } ( \varphi ) = - \left[ \operatorname { l n } { \frac { \widehat \Lambda _ { s } } { m _ { A } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right] { \frac { \partial \operatorname { l n } B ( \varphi ) } { \partial \varphi } } = + \operatorname { l n } { \frac { \widehat \Lambda _ { s } ^ { \prime } } { m _ { A } } } \, { \frac { \partial \operatorname { l n } B ^ { - 1 } ( \varphi ) } { \partial \varphi } } \ ,
\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left\langle \frac { P _ { n } ( x _ { 1 } ) \tilde { Q } _ { m } ( y _ { 1 } ) } { x _ { 1 } - \phi _ { a } } \right\rangle \left\langle \frac { P _ { m } ( x _ { 2 } ) \tilde { Q } _ { n } ( y _ { 2 } ) } { y _ { 2 } - \chi _ { b } } \right\rangle = \left\langle \frac { P _ { n } ( x _ { 1 } ) \tilde { Q } _ { n } ( y _ { 1 } ) } { ( x _ { 1 } - \phi _ { a } ) ( y _ { 1 } - \chi _ { b } ) } \right\rangle
+ e _ { 2 } \overline { { \Phi } } ( z , t _ { 2 } | y , t _ { 1 } ) ( { \gamma } ^ { 0 } \otimes { \gamma } ^ { 0 } ) { \Phi } ( z , t _ { 2 } | y , t _ { 1 } ) \} ,
V ( r ) \sim \left\{ \begin{array} { c l } { - 2 k ^ { 2 } / r ^ { 6 } } & { \textrm { s c a l a r p e r t u r b a t i o n } } \\ { + 4 k ^ { 2 } / r ^ { 6 } } & { \textrm { e l e c t r o m a g n e t i c - g r a v i t a t i o n a l p e r t u r b a t i o n } } \\ \end{array} \right.
\, \, \, \, \partial ^ { \mu } A _ { \mu } \, = \, 0 \, \, \, \, \, ; \, \, \, F _ { \mu \nu } \, + \, { \tilde { F } } _ { \mu \nu } \, = \, 0 \, \, \, \, \, ; \, \, \, \partial ^ { \mu } \Psi _ { \mu } \, = \, 0
F = F ( u _ { 1 } + u _ { 3 } u _ { 2 } , u _ { 3 } ) , \quad \alpha ( u _ { 1 } + u _ { 3 } u _ { 2 } , \lambda )
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } = T \, ( \partial _ { \mu } y ( x ) ) ( \partial ^ { \mu } y ( x ) ) \, .
( \gamma ^ { 0 } + \epsilon ) \xi = ( \gamma ^ { 0 } - \epsilon ) \eta = 0 .
\rho _ { \nu } ( x ) = \rho _ { \nu ^ { \prime } } ( x ) \frac { q ^ { C ( \nu ) / 2 } + \epsilon ( \nu ) \epsilon ( \nu ^ { \prime } ) x q ^ { C ( \nu ^ { \prime } ) / 2 } } { x q ^ { C ( \nu ) / 2 } + \epsilon ( \nu ) \epsilon ( \nu ^ { \prime } ) q ^ { C ( \nu ^ { \prime } ) / 2 } } \; , ~ ~ ~ ~ \forall \nu \neq \nu ^ { \prime } .
A _ { \mu } ^ { a } \frac { \sigma ^ { a } } { 2 } = \bar { \Sigma } _ { \mu \nu } J _ { \nu } [ \Phi ]
B _ { a b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \Bigl [ \delta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { a } ) - \delta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { b } ) \Bigr ] \Bigl [ \delta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { a } ) - \delta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { b } ) \Bigr ] \quad .
e _ { f } ^ { \mu } = \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { \mu [ - 2 ] } + e ^ { \mu [ + 2 ] } \right) , { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { \mu [ - 2 ] } - e ^ { \mu [ + 2 ] } \right) \right)
G ( z \vert \tau ) = \operatorname { l o g } \chi \ , \ \ \chi = 2 \pi e ^ { - \pi y ^ { 2 } / \tau _ { 2 } } \Bigl \vert { \frac { \theta _ { 1 } ( z \vert \tau ) } { \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 \vert \tau ) } } \Bigr \vert \ \ ,
\langle { \bf \Psi } , { \bf \Xi } \rangle = \frac 1 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ \psi ^ { * } ( x ) \operatorname { t a n } ( - i \partial _ { x } ) \xi ( x ) - \xi ( x ) \operatorname { t a n } ( - i \partial _ { x } ) \psi ^ { * } ( x ) ] \; d x
\triangle _ { \alpha \beta } ^ { a b } ( x , y ) + \int d ^ { 3 } w ~ d ^ { 3 } z ~ X _ { \alpha \gamma } ^ { a c } ( x , w ) \omega _ { c d } ^ { \gamma \delta } ( w , z ) X _ { \beta \delta } ^ { b d } ( y , z ) = 0 .
d s _ { D W } ^ { 2 } = H ( z ) ^ { - \frac { 2 \alpha } { \epsilon } } \left( d x ^ { \mu } \otimes d x ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu } \right) + H ( z ) ^ { - \frac { 2 \beta + \epsilon } { \epsilon } - 2 } \, \frac { d z ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } }
1 6 \pi { \cal L } = - e ^ { - { \cal K } } R + \dots
\dot { \operatorname { l n } { \frac { [ i ] } { [ i - 1 ] } } } + ( \operatorname { l n } ( [ i ] [ i - 1 ] ) ^ { \prime \prime } + ( ( \operatorname { l n } { \frac { [ i ] } { [ i - 1 ] } } ^ { \prime } ) ^ { 2 } = 2 ( \bar { \alpha } _ { i - 1 , i } + \bar { \alpha } _ { i , i - 1 } - \bar { \alpha } _ { i - 1 } \bar { \alpha } _ { i } )
\int \Phi _ { \Xi } ^ { \dagger } ( \xi , \xi ^ { * } ) \Phi _ { H } ( \xi , \xi ^ { * } ) d v ( \xi , \xi ^ { * } ) = \left( \Xi \mid H \right)
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = h ^ { - 1 / 2 } ( \rho ) d x ^ { \mu } d x ^ { \mu } + h ^ { 1 / 2 } ( \rho ) d s _ { 6 } ^ { 2 } ,
\epsilon ^ { \delta \gamma \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } D _ { \gamma } ^ { i } \; { \cal O } _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { J _ { 2 } } \; \beta _ { 1 } \ldots \beta _ { J _ { 2 } } } = 0 \, .
\{ X ^ { M } \} = \{ x ^ { \mu } , y ^ { i } \} , \quad D _ { i } ( X ) \equiv y ^ { i } .
T _ { n } = \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { a _ { n } ^ { \dagger } ( k ) a _ { n } ( k ) } { k - \frac { 1 } { 2 } }
\sum _ { n = 1 / 2 , \cdots } { \frac { \Delta p ^ { + } } { p _ { n } ^ { + } } } = \sum _ { n = n _ { \mathrm { I R } } + 1 } ^ { n _ { \mathrm { U V } } - 1 } \frac { 1 } { n } \simeq \mathrm { l n } \frac { n _ { \mathrm { U V } } } { n _ { \mathrm { I R } } } \simeq \mathrm { l n } \frac { 2 \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } + { \bf p } _ { \bot } ^ { 2 } } ,
\Gamma ( s + 2 n - 1 ) \zeta _ { R } ( s ) \zeta ( \frac { s + 2 n - 1 } { 2 } | \L _ { 3 } ) \; \beta ^ { - s } \: , \nonumber
\left\{ \begin{array} { c c c } { - \lambda ^ { 2 } x ^ { + } \left( x ^ { - } + \Delta \right) } & { = } & { { \frac { \kappa } { 4 } } } \\ { - \lambda ^ { 2 } x ^ { + } x ^ { - } } & { = } & { { \frac { \kappa } { 4 } } \, e ^ { \frac { 4 M } { \kappa \lambda } } \; . } \\ \end{array} \right.
: \psi _ { r , a } ^ { * } \psi _ { s , b } : = \psi _ { r , a } ^ { * } \psi _ { s b } - \langle 0 | \psi _ { r , a } ^ { * } \psi _ { s b } | 0 \rangle ,
{ \cal M } ( \theta ) = \left( \begin{array} { c c } { \operatorname { c o s } \theta } & { \operatorname { s i n } \theta } \\ { - \operatorname { s i n } \theta } & { \operatorname { c o s } \theta } \\ \end{array} \right)
d s ^ { 2 } = ( 1 - \frac { N ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } ) ( \frac { r } { 8 N } ) ^ { 2 } ( d \tau + 4 N \operatorname { c o s } \theta d \phi ) ^ { 2 } + ( 1 - \frac { N ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } ) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } .
x _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( x _ { + } + x _ { - } \right) , \quad x _ { 2 } = \frac { \imath } { 2 } \left( x _ { - } - x _ { + } \right) , \quad x _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } h ,
\phi ( \sigma ) = U \, e ^ { i \, ( N \sigma + \varphi ( \sigma ) ) } ,
E _ { | 2 } \left( m , \lambda \right) = 2 \frac V { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p p ^ { 2 } \sqrt { E _ { i } ^ { 2 } \left( p , m , l \right) } ,
I ( d , a , c ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x \; d x } { ( x ^ { 2 } + d ^ { 2 } ) + a ( x ^ { 2 } + d ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + c ^ { 2 } } }
\triangle ^ { s y m } ( t ) = - t ^ { * } \times 1 + 1 \times t ,
R _ { k } ^ { ( N _ { f } ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } , M ) \ = \ \operatorname* { d e t } \left[ K _ { N } ^ { ( N _ { f } ) } ( x _ { i } , x _ { j } , M ) \right] _ { i , j = 1 , \ldots , k }
\Omega _ { 3 } = { \frac { 1 } { 3 R ^ { 2 } } } \varepsilon _ { \hat { m } \hat { n } \hat { p } \hat { q } } X ^ { \hat { m } } d X ^ { \hat { n } } d X ^ { \hat { p } } d X ^ { \hat { q } } \, , \qquad \tilde { \Omega } _ { 3 } = { \frac { 1 } { 3 R ^ { 2 } } } \varepsilon _ { \hat { m } ^ { \prime } \hat { n } ^ { \prime } \hat { p } ^ { \prime } \hat { q } ^ { \prime } } X ^ { \hat { m } ^ { \prime } } d X ^ { \hat { n } ^ { \prime } } d X ^ { \hat { p } ^ { \prime } } d X ^ { \hat { q } ^ { \prime } } \, ,
x = \beta | \stackrel { \rightharpoonup } { l } | , \ y = \beta m \ \mathrm { a n d } \ r = \beta \mu .
\tilde { \Psi } _ { \nu } ^ { \prime } = - i \bigl ( \nu + { \bf M } \delta ( \sigma ) \bigr ) \tilde { \Psi } _ { \nu } .
E = { \frac { 1 } { n ! } } \int d \Omega \left[ E _ { 1 } \left| Y _ { a _ { 1 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) } \right| ^ { 2 } + E _ { 2 } \left| Y _ { a _ { 2 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) } \right| ^ { 2 } + E _ { 3 } \left| Y _ { a _ { 3 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) } \right| ^ { 2 } \right] .
{ H _ { \bar { \partial } } ^ { p , p } } ( { { \mathcal P } ^ { n } } ) \cong { H _ { D R } ^ { 2 p } } \cong C
R _ { i j k l } ^ { ( + ) } = \frac { 1 } { 2 } g _ { i m } g _ { j n } \phi ^ { m n p q } R _ { p q k l } ^ { ( + ) } .
- i A ^ { i j } E ^ { i j } = S q r t { 2 } ( A _ { L } ^ { l } \alpha _ { L } ^ { l } + A _ { R } ^ { r } \alpha _ { R } ^ { r } )
M _ { 1 1 } ^ { \beta \gamma } = \frac { T ^ { \beta \gamma } } { 1 - C I ^ { \beta \gamma \, - 1 } T ^ { \beta \gamma } + T ^ { \beta \gamma \, 2 } } = \frac { ( C I ^ { \beta \gamma } ) ^ { 5 } - C I ^ { \beta \gamma } } { ( 1 - ( C I ^ { \beta \gamma } ) ^ { 2 } ) ( 1 - 3 ( C I ^ { \beta \gamma } ) ^ { 2 } ) }
V ( \varphi _ { 0 } ) = 4 \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { ( - 1 ) ^ { s } } { 2 s } \frac { ( M + g \varphi _ { 0 } ) ^ { 2 s } } { ( p _ { E } ^ { 2 } ) ^ { s } } .
F ( \phi ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { 1 } { p ^ { 2 } + M ^ { 2 } ( \phi ) } ,
\delta \Psi _ { \hat { a } } = \partial _ { \hat { a } } \epsilon + { \frac { 1 } { 8 } } H ^ { - 1 } ( \partial _ { \hat { a } } H ) \epsilon + { \frac { 1 } { 8 } } W \gamma ^ { \underline { { u x y } } } \gamma _ { \underline { { \hat { a } } } } ( i \sigma _ { 2 } ) \epsilon = 0 \,
I _ { G } = \int \sum _ { p = 0 } ^ { [ d / 2 ] } \alpha _ { p } L ^ { ( p ) } ,
\Pi _ { \mu \nu } ^ { ( I ) } = { \frac { e ^ { 2 } C ^ { ( I ) } } { 2 } } \, \int { \frac { d ^ { n } k } { ( 2 \pi ) ^ { n } } } \, { \frac { ( 1 - \operatorname { c o s } p \times k ) } { k ^ { 2 } ( k + p ) ^ { 2 } } } \, N _ { \mu \nu } ^ { ( I ) } ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; I = a , b , c
\Big \langle \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 4 } \theta \, \Big ( \phi ^ { * } e ^ { 2 V } \phi + \tilde { \phi } ^ { * } e ^ { - 2 V } \tilde { \phi } \Big ) \Big \rangle = 0 .
{ \cal L } = \Psi = P \{ \mu \} \ .
q _ { ( 1 ) } = q _ { i } \delta _ { i } ^ { j } \qquad \bar { q } _ { ( 1 ) } = \bar { q } _ { i } \delta _ { i } ^ { j } \qquad T _ { ( 1 ) } = T _ { i } \delta _ { i } ^ { j }
Y = 2 [ ( x _ { 1 2 } x _ { 3 4 } ) - 2 \frac { ( x _ { 1 2 } x _ { 2 4 } ) ( x _ { 3 4 } x _ { 2 4 } ) } { x _ { 2 4 } ^ { 2 } } ] \frac { 1 } { x _ { 2 4 } ^ { 2 } } ( 1 + \mathcal { O } ( x _ { 1 2 } , x _ { 3 4 } ) )
{ \cal S } _ { E } = \int _ { 0 } ^ { \tau } d t \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \left( \frac { \rho } { 2 } \left( \frac { \partial X } { \partial t } \right) ^ { 2 } + \frac { \nu } { 2 } \left( \frac { \partial X } { \partial \sigma } \right) ^ { 2 } \right) .
\delta B _ { \hat { 0 } \alpha } ^ { g } = \frac { 1 } { \sqrt { a } } { \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } \left( \delta { \beta } _ { o i } ^ { g } - v _ { i } \delta \beta ^ { a } \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { U } ^ { - 1 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > = } \\ { = } & { e ^ { i \pi k k _ { 1 } k _ { 2 } } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i k \left[ ( k _ { 1 } \tau - k _ { 2 } ) \overline { { A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) } } + ( k _ { 1 } \bar { \tau } - k _ { 2 } ) A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) \right] } \| A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) - \frac { i \pi } { \tau _ { 2 } } ( \tau k _ { 1 } - k _ { 2 } ) > \ \ \ , } \\ \end{array}
\chi [ { \cal M } _ { \alpha } ] = { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { { \cal M } _ { \alpha } / \Sigma } ( R ^ { 2 } - 4 R _ { \mu \nu } ^ { 2 } + R _ { \mu \nu \alpha \beta } ^ { 2 } ) + ( 1 - \alpha ) \chi [ \Sigma ] ~ ~ ~ ,
S = \frac { - 8 } { \kappa ^ { 2 } } \int d t d ^ { 2 } \theta d ^ { 2 } \overline { { \theta } } { I \! \! N } ^ { - 1 } A ( { I \! \! N } { \bf Q } ^ { \mu } ) ,
H _ { Q ( t , z ) } ^ { S , l } \cong H _ { Q ( t ) } ^ { S } \otimes C [ [ z ] ] \cong \hat { H } _ { Q ( t , z ) } ^ { S } ,
n ( \omega ) = { \frac { 1 + e ^ { - \alpha ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } { 1 - e ^ { - \alpha ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } } .
Q = \frac { 1 } { C } \int _ { T _ { 2 } } W ^ { * } \omega ,
a + b - 1 + 2 \sum _ { j = 1 } ^ { r - 2 } j \, n _ { j } = L + 1 .
\hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) K _ { 1 } ^ { \prime } \hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) K _ { 1 } ^ { \prime } = K _ { 1 } ^ { \prime } \hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) K _ { 1 } ^ { \prime } \hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) \quad ,
\psi = \sqrt \rho _ { 0 } e ^ { i n \theta } , \quad A _ { 0 } = 0 , \quad { \bf A } = \frac { n } { e } \frac { { \bf e } _ { \theta } } { r }
T ^ { M } \cdot T ^ { N } - ( M \leftrightarrow N ) = f ^ { M N K } T ^ { K }
Q _ { U } = \int _ { U } j _ { p } = \int _ { U } d ( d C _ { p } ) = \int _ { \partial U } d C _ { p } = \int _ { \partial U } G _ { p + 1 } - H \wedge C _ { p - 2 } .
( \partial p ) ^ { * } \partial \Theta , \partial g
\beta F _ { \mathrm { b o s e } } = 9 N ^ { 2 } \operatorname { l o g } [ 2 \operatorname { s i n h } ( 2 \beta R _ { \mathrm { r m s } } ) ]
S _ { \mathrm { m a s s i v e \ I I A } } ( C ^ { ( 9 ) } ) \sim \int d ^ { 1 0 } x { \sqrt { | g | } } \left\{ e ^ { - 2 \phi } \left[ R - 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 2 \times 1 0 ! } ( G ^ { ( 1 0 ) } ) ^ { 2 } + \cdots \right\} \, .
m , n = 1 \ldots d ; \; \; \; \; \; \; a , b , c = 1 \ldots g ; \; \; \; \; \; i , j , k = 1 \ldots g \; \; \; \; \; \; ( g \leq d )
[ \hat { \eta } _ { m } ^ { ( i ) \mu } , \hat { \eta } _ { n } ^ { \dagger ( j ) \nu } ] = G ^ { \mu \nu } \delta ^ { i , j } \delta _ { m , n } ~ .
\Phi ^ { 2 } = 2 ( { \frac { d - 3 } { d - 2 } } ) q \Phi _ { h } \phi ~ ~ , ~ ~ \gamma _ { a b } = ( { \frac { \phi _ { h } } { \phi } } ) ^ { \frac { d - 3 } { d - 2 } } e ^ { { \frac { 2 } { q \Phi _ { h } } } \phi } \bar { \gamma } _ { a b } ~ ~
C ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l } { \operatorname { c o t } { \theta } \hspace { 0 . 5 c m } \mathrm { f o r } \hspace { 0 . 3 c m } k = + 1 , } \\ { 0 \hspace { 0 . 5 c m } \mathrm { f o r } \hspace { 0 . 3 c m } k = 0 , } \\ { \operatorname { c o t h } { \theta } \hspace { 0 . 5 c m } \mathrm { f o r } \hspace { 0 . 3 c m } k = - 1 , } \\ \end{array} \right. \
\eta ^ { l m } \partial _ { i } \partial _ { j } \partial _ { m } F _ { M } \partial _ { l } \partial _ { k } \partial _ { n } F _ { M } = \eta ^ { l m } \partial _ { j } \partial _ { k } \partial _ { m } F _ { M } \partial _ { i } \partial _ { l } \partial _ { n } F _ { M }
d s _ { n + 3 } ^ { 2 } = e ^ { - 2 n L \rho } d x ^ { 2 } + e ^ { 4 L \rho } ( 2 d x d t + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { d y ^ { i } } ^ { 2 } ) + d \rho ^ { 2 }
J _ { 5 } ^ { \mu } = - \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \sigma } A _ { \nu } F _ { \lambda \sigma }
\hat { D } ( \hat { u } ) = \lambda ^ { - 1 } \hat { Q } ( \hat { u } )
h ( r ) = \eta \left( 1 - \sqrt { \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } } } \eta r K _ { 1 } ( 2 \sqrt { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } } \eta r ) \right) ,
\partial _ { \tau } \langle x , \tau \vert x ^ { \prime } , 0 \rangle = - \langle x , \tau \vert H \vert x ^ { \prime } , 0 \rangle \; ,
{ \cal L } _ { S G } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \varphi \partial _ { \mu } \varphi -
E [ f ^ { ( 0 ) } + f ^ { ( 1 ) } ] = E [ f ^ { ( 0 ) } ] + \frac { \delta E } { \delta f } [ f ^ { ( 0 ) } ] \cdot f ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \delta ^ { 2 } E } { \delta f ^ { 2 } } [ f ^ { ( 0 ) } ] \cdot ( f ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + \cdots ,
{ \cal L } _ { c l a s s } = { \cal L } _ { c l a s s } ( \phi , \alpha ) = \sum _ { i } \lambda _ { i } ( \alpha ) \, { \cal G } _ { i } .
\Psi _ { E } ^ { ( - ) } = \left( \begin{array} { l } { e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \sum f _ { n } e ^ { i \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \theta } } \\ { e ^ { - i \frac { \theta } { 2 } } \sum g _ { n } e ^ { i \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \theta } } \\ \end{array} \right)
[ \partial _ { x } , \eta ] = 0 \ \ \ \ [ \partial _ { y } , \xi ] = h ^ { \prime } \xi \partial _ { x } + h h ^ { \prime } \eta \partial _ { x } + h \eta \partial _ { y }
\Gamma _ { \underline { \alpha } \underline { \beta } } ^ { i } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \delta _ { \beta } ^ { \alpha } ( \gamma ^ { i } ) _ { q } ^ { ~ r } } \\ { - \delta _ { \alpha } ^ { \beta } ( \gamma ^ { i } ) _ { ~ r } ^ { q } } & { 0 } \\ \end{array} \right) \, , \quad i = 1 , . . . , 5 \, ,
R _ { i j } = \frac { E ( z _ { i } , z _ { j } ) E ( w _ { i } , w _ { j } ) } { E ( z _ { i } , w _ { j } ) E ( w _ { i } z _ { j } ) }
\Delta _ { \varepsilon , \overline { { \varepsilon } } } ^ { ( 1 ) } = \frac { \sigma ^ { 2 } } 2 \cdot \frac { m - i \varepsilon \widehat { p } } { 2 m } \cdot \frac { m - i \overline { { \varepsilon } } \overline { { p } } } { 2 m } \cdot \left( 1 - \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) = \Psi _ { \varepsilon , \overline { { \varepsilon } } } \cdot \overline { { \Psi } } _ { \varepsilon , \overline { { \varepsilon } } }
\gamma _ { 5 } \Gamma _ { 5 } \gamma _ { 5 } D + D \Gamma _ { 5 } = 0
\vert j , L = M = 0 \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 j + 1 } } } \; \sum _ { m \; = - j } ^ { j } \vert j , m , - m \rangle
c ^ { ( 0 ) } \delta ( \nu ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \frac { c ^ { ( 0 ) } ( \nu , t ) } { \nu ^ { n - 2 } } } \quad .
J _ { 0 } ^ { \pm } | j m > = \sqrt { m ( m \pm 1 ) - j ( j + 1 ) } \; | j m \pm 1 >
\delta m = \sqrt { \frac { j ( j + 1 ) } { d } } = \frac { \sqrt { j ( j + 1 ) } } { r } ,
\tilde { G } _ { \mu \nu } ^ { 0 A } - \tilde { G } _ { \mu \nu } ^ { 0 L } = - { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } k _ { \mu } k _ { \nu } \biggl ( { \frac { ( \lambda k ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ) } { ( \eta \cdot k ) ^ { 2 } } } + { \frac { ( 1 - \lambda ) } { k ^ { 2 } } } \biggr ) + { \frac { k _ { [ \mu } \eta _ { \nu ] _ { + } } } { k ^ { 2 } \eta \cdot k } } .
S ^ { 2 } ( p , q ) \, = \, f ( p , q ) \, = \, - ( p ^ { 0 } q _ { 0 } - p ^ { 1 } q _ { 1 } + p ^ { 2 } q _ { 2 } + p ^ { 3 } q _ { 3 } ) ^ { 2 } + 4 ( p ^ { 2 } p ^ { 3 } - p ^ { 0 } q _ { 1 } ) ( p ^ { 1 } q _ { 0 } + q _ { 2 } q _ { 3 } )
\widetilde { \Omega } _ { i } ^ { ( 1 ) } ( x ) = \int d y X _ { i j } ( x , y ) \Phi ^ { j } ( y ) .
R _ { S } ^ { 0 } ( F ^ { \otimes n } , G ) = \int d ^ { n } x ( { \mathcal R } ( x _ { \pi _ { t } ( 1 ) } ) \ldots { \mathcal R } ( x _ { \pi _ { t } ( n ) } ) G ) _ { S } \ .
Z ^ { I } = \sum _ { a = 1 } ^ { 1 6 } { \frac { q ^ { I } { } _ { a } } { | \vec { x } - \vec { x } _ { a } | } } \, \ , \qquad \sum _ { a = 1 } ^ { 1 6 } q ^ { I } { } _ { a } = 0 \ ,
\beta _ { i \bar { \jmath } } = - \frac 1 { 2 \pi } R _ { i \bar { \jmath } } - \frac { 4 \zeta ( 3 ) } { 3 ( 4 \pi ) ^ { 4 } } \partial _ { i } \partial _ { \bar { \jmath } } \left[ R _ { k \bar { l } m \bar { n } } R ^ { p \bar { l } q \bar { n } } R _ { p } { } ^ { k } { } _ { q } { } ^ { m } - R _ { k \bar { l } m \bar { n } } R ^ { m \bar { n } p \bar { q } } R _ { p \bar { q } } { } ^ { k \bar { l } } \right] + \ldots
\{ F ^ { \sigma \nu } , x ^ { \mu } \} - \{ F ^ { \sigma \mu } , x ^ { \nu } \} = \{ F ^ { \mu \nu } , x ^ { \sigma } \} .
M _ { U \ \scriptstyle \mathrm { m i n } } ^ { E _ { 8 } - E _ { 6 } } \approx 5 . 4 9 \times 1 0 ^ { 1 7 } \times g _ { U } ^ { E _ { 8 } - E _ { 6 } } \times \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 0 . 0 8 \times \left( g _ { U } ^ { E _ { 8 } - E _ { 6 } } \right) ^ { 2 } } } \, \mathrm { G e V } \, .
\left. \begin{array} { l } { ( \gamma ) = { } ^ { g _ { 4 } } [ S _ { 4 } ] \hspace { 2 m m } { } ^ { g _ { 3 } } [ S _ { 3 } ] \hspace { 2 m m } { } ^ { g _ { 2 } } [ S _ { 2 } ] \hspace { 2 m m } { } ^ { g _ { 1 } } [ S _ { 1 } ] \hspace { 2 m m } [ \xi ] } \\ { \hspace { 6 m m } = [ \xi ] \hspace { 2 m m } { } ^ { h _ { 4 } } [ S _ { 4 } ] \hspace { 2 m m } { } ^ { h _ { 3 } } [ S _ { 3 } ] \hspace { 2 m m } { } ^ { h _ { 2 } } [ S _ { 2 } ] \hspace { 2 m m } { } ^ { h _ { 1 } } [ S _ { 1 } ] , } \\ \end{array} \right.
\frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 0 } } + \xi _ { 1 } \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } = 0 , \quad x _ { 1 } - \xi _ { 1 } x _ { 0 } = F ( \xi _ { 1 } )
d f _ { i } = d Q _ { i } \frac { \partial f ( Q _ { i } ) } { \partial Q _ { i } } \; .
\phi _ { a } \phi _ { a } = \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \phi _ { 2 } ^ { 2 } + \phi _ { 3 } ^ { 2 } = 1 .
\left( \tilde { \alpha } _ { J } \right) _ { k } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n }
T _ { i k } = ( 1 - 2 \zeta ) \partial _ { i } \varphi \partial _ { k } \varphi + ( 2 \zeta - 1 / 2 ) g _ { i k } \partial ^ { l } \varphi \partial _ { l } \varphi - 2 \zeta \varphi \nabla _ { i } \nabla _ { k } \varphi + ( 1 / 2 - 2 \zeta ) m ^ { 2 } g _ { i k } \varphi ^ { 2 } .
[ X _ { J } , [ X ^ { J } , X _ { [ K } ] ] n _ { L ] } + { \frac { 1 } { 4 } } \{ \bar { \lambda } , \Gamma _ { K L } \lambda \} = 0 .
C ( k , p ) = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { i k \delta ( \bar { k } + \bar { p } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 i \delta ( \bar { k } + \bar { p } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i \delta ( \bar { k } + \bar { p } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \delta ( 0 ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \delta ( 0 ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \delta ( 0 ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \delta ( 0 ) } & { 0 } & { 0 } \\ \end{array} \right) \, ,
\Gamma _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { P V } } = \Gamma _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { P V } , ( 1 ) } + \Gamma _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { P V } , \, ( \vec { E } ) }
D _ { a } D ^ { a } \phi + \cdots = \frac { \partial V ( T ) } { \partial T }
\partial _ { t } Q = \frac { \delta { \cal H } ( Q , P ) } { \delta P } \quad \partial _ { t } P = - \frac { \delta { \cal H } ( Q , P ) } { \delta Q } .
2
\left[ m _ { 0 } ^ { D - 2 } - K _ { c r } ^ { \frac { D - 2 } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \Gamma ( \frac { D - 1 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { D } { 2 } ) \right] \Gamma ( 1 - \frac { D } { 2 } ) = 0 .
\dot { b } = \frac { 1 } { e ^ { t ( | y | ) - N + 3 A } } = \frac { 1 } { e ^ { t ( | y | ) + 2 k F + 3 J } } ~ ,
\Phi _ { 1 } ^ { G } = e + \zeta \pi _ { 0 } ^ { - 1 } \; , \; \; \Phi _ { 2 } ^ { G } = \chi \; , \; \; \Phi _ { 3 \mu } ^ { G } = b _ { \mu } \; , \; \; \Phi _ { 4 } ^ { G } = x _ { 0 } - \zeta \tau \; , \; \; \Phi _ { 5 } ^ { G } = \psi ^ { 0 } \; , \; \;
{ \bf P } \left( \hat { a } _ { a _ { 1 } } ^ { \dagger } \ldots \hat { a } _ { a _ { s } + 1 } ^ { \dagger } A _ { \; \; \quad \quad b _ { 1 } \ldots b _ { s } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { s + 1 } } \hat { a } ^ { b _ { 1 } } \ldots \hat { a } ^ { b _ { s } } \right) = \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } K ^ { a }
e _ { n } = \gamma _ { n } \, ; \quad e _ { 7 } = i \gamma _ { 5 } \, ; \quad e _ { n + 3 } = e _ { n } e _ { 7 } = i \gamma _ { n } \gamma _ { 5 } \, ; \qquad n = 1 , 2 , 3 \, .
\langle \Psi | \Phi \rangle = \int { \overline { \Psi } } \Phi e ^ { - \langle Z , Z \rangle } { \cal D } Z { \cal D } { \overline { Z } } \, .
{ \cal F } ( a , \Lambda ) = { 8 \pi i b _ { 1 } } \Lambda ^ { 2 } a ^ { 2 } \int _ { 4 \Lambda / \pi } ^ { a } d x { \cal G } _ { 1 } ( x ) x ^ { - 3 } - { \frac { i b _ { 1 } \pi ^ { 3 } } { 4 } } a ^ { 2 } ,
\sum _ { B } \, \Phi _ { A B } \ast L _ { B } ^ { \pm } ( \theta , r ) = r \, M _ { A } \operatorname { c o s h } \theta + \operatorname { l n } ( 1 - \operatorname { e x p } ( - L _ { A } ^ { \pm } ( \theta , r ) ) ) \quad \, .
A _ { \mu } = \frac { 1 } { 2 q } \frac { i ( \overline { { \psi } } \gamma _ { \mu } \slash { \partial } \psi - \overline { { \psi } } \overleftarrow { \slash { \partial } } \gamma _ { \mu } \psi ) - 2 m j _ { \mu } } { \overline { { \psi } } \psi } .
x = a + b \overline { { \psi } } _ { 0 } \psi _ { 0 } , \qquad \psi = c \psi _ { 0 } + d \overline { { \psi } } _ { 0 } , \qquad \overline { { \psi } } = c ^ { * } \overline { { \psi } } _ { 0 } + d ^ { * } \psi _ { 0 } ,
\partial ^ { m } \bar { \chi } _ { m \dot { \alpha } } = \partial ^ { m } \chi _ { m \alpha } = 0 ,
U _ { x , i j } = \operatorname { e x p } \left( - \textstyle { { \frac { 1 } { 2 } } } i g a ^ { 2 } \epsilon _ { i j k } B _ { x , k } ^ { a } \tau ^ { a } \right) \, .
\zeta _ { s } ( \Delta _ { X } ) - \zeta _ { s } ( \Delta _ { Y } ) + \zeta _ { s } ( \Delta _ { Z } ) = 0 , \quad \forall s .
P _ { M } ^ { N } ( z ) = \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { N } A _ { n } z ^ { n } } { \sum _ { n = 0 } ^ { M } B _ { n } z ^ { n } }
T ( u ) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - u ^ { 0 } \vec { u } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \hline 0 } & { I } \\ \end{array} \right)
p _ { \mu } T _ { \mu \nu } ^ { S \rightarrow A V } = 2 m i T _ { \nu } ^ { S \rightarrow P V }
\nabla _ { \mu } \phi _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k } } = ( \partial _ { \mu } + \omega _ { \mu } ) \phi _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k } } - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \Gamma _ { \mu _ { i } \mu } ^ { \lambda } \phi _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { i - 1 } \lambda \mu _ { i + 1 } \dots \mu _ { k } }
\vert \mathrm { o p e n } > = J _ { - 1 } ^ { a } \vert j >
M = \left( \begin{array} { c c } { C } & { \hat { 0 } } \\ { \hat { 0 } } & { \bar { C } } \\ \end{array} \right) ,
\{ \hat { X } ^ { \mu } , \hat { S } ^ { \nu \lambda } \} ^ { \prime } = 2 \frac { \bar { P } ^ { \nu } \hat { S } ^ { \lambda \mu } - \bar { P } ^ { \lambda } \hat { S } ^ { \nu \mu } } { ( P + \bar { P } ) ^ { 2 } } - \frac { 4 P ^ { \mu } } { ( P + \bar { P } ) ^ { 2 } } ( \bar { P } ^ { \lambda } D ^ { \nu \rho } A _ { \rho } - \bar { P } ^ { \nu } D ^ { \lambda \rho } A _ { \rho } ) . \nonumber \,
T ^ { 0 i } = B \tilde { E } _ { i } - ( \partial _ { j } E _ { j } ) A _ { i } - \frac { 2 < B ^ { 2 } > } { \Lambda ^ { 3 } \kappa } \partial _ { i } ( A E ) + \frac { M } { 8 } \partial _ { j } ( A _ { i } \tilde { A } _ { j } + A _ { j } \tilde { A } _ { i } ) ;
\langle | \Phi _ { + } ( y ) | \rangle = { \frac { A } { \operatorname { c o s } [ a y + b + c _ { 0 } \mathrm { s g n } ( y ) + c _ { \pi } \mathrm { s g n } ( y - \pi R ) ] } } .
\sqrt { \kappa ^ { 2 } + | \alpha | ^ { 2 } } = \frac { \pi \lambda ^ { 2 } } { L _ { 1 } L _ { 2 } } .
R _ { 2 } ( y _ { i } , y _ { j } ) = f _ { 1 , 1 } ( y _ { i } , y _ { j } ) + { \frac { \kappa } { 2 } } \left( f _ { 2 , 1 } ( y _ { i } , y _ { j } ) + f _ { 1 , 2 } ( y _ { i } , y _ { j } ) \right) + O ( \kappa ^ { 2 } ) ,
\Delta ^ { ( 1 ) } ( \beta _ { R } , \beta _ { I } , k , z _ { 1 } ) = u ~ P ( \beta _ { R } | \beta _ { I } , k , \mathrm { R e } ( z _ { 1 } ) , \mathrm { I m } ( z _ { 1 } ) )
\eta ^ { \mu } ( \sigma ) = \hat { \xi } ^ { \mu } ( \sigma , r ( \sigma ) ) \ .
m ^ { 2 } ( t ) = m ^ { 2 } \operatorname { e x p } ( ( 2 - 2 \alpha + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ) t )
d _ { p _ { 1 } } C _ { p _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } = H _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } , \; d _ { p _ { 1 } } H _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } = 0 ,
\partial _ { 5 } \left\langle { \Phi } \right\rangle = - g _ { 5 } ^ { 2 } \phi ^ { \dagger } \phi \left( \delta ( x _ { 5 } ) - { \frac { 1 } { 2 \pi R } } \right) \ .
\sigma _ { a b } = m ^ { 2 } \delta _ { a b } + v _ { a b } ,
\Pi ^ { - } = 2 i \theta ^ { - } P _ { p } \sigma ^ { p } \ , \qquad \bar { \Pi } ^ { - } = 2 i P _ { p } \sigma ^ { p } \bar { \theta } ^ { - }
\widehat { p } ^ { a } \left| B _ { X } \right\rangle \! = \left( \widehat { q } ^ { i } - y ^ { i } \right) \left| B _ { X } \right\rangle \! = 0 ,
{ \frac { m } { 2 } } \left[ \mathrm { T r } \left( \Phi ^ { 2 } \right) - \mathrm { T r } \left( { \widetilde \Phi } ^ { 2 } \right) \right] ~ ,
\phi _ { i } ^ { \prime } ( x ) = \phi _ { i } ( x ) + \delta _ { \mathrm { B R S } } \phi _ { i } ( x ) \Theta [ \phi ] ,
{ \frac { \partial W } { \partial \bar { q } } } = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad q = Q ,
\Omega \to \Omega + 1 \qquad \mathrm { a n d } \qquad \Omega \to - 1 / \Omega \ .
\Psi ( x ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } \int \left[ \Psi ^ { + } ( \mathbf { p } ) e ^ { i p x } + \Psi ^ { - } ( \mathbf { p } ) e ^ { - i p x } \right] d ^ { 3 } p ,
\begin{array} { l } { \Phi _ { 2 } = ( \phi _ { 2 } ^ { + } ) ^ { - 1 } \{ D _ { 2 } \} _ { p , q } , } \\ { \bar { \Phi } _ { 2 } = \phi _ { 2 } ^ { + } , } \\ { \Phi _ { 1 } = ( \phi _ { 1 } ^ { + } ) ^ { - 1 } \{ D _ { 1 } \} _ { p , q } p ^ { D _ { 2 } } , } \\ { \bar { \Phi } _ { 1 } = \phi _ { 1 } ^ { + } q ^ { D _ { 2 } } . } \\ \end{array}
\delta { \cal L } _ { r e d } ~ ~ \sim ~ ~ \partial _ { ( + } \left[ ~ { \bar { \epsilon } } ( D _ { - ) } \psi ) \phi ^ { * } ~ + ~ c . c . \right] ~ ~ ,
\epsilon _ { \mathbf { p } } = \pm \sqrt { \left( E _ { \mathbf { p } } \pm \mu \right) ^ { 2 } + \chi ^ { 2 } } .
\int d ^ { 2 p - 2 } x \sqrt { \operatorname* { d e t } ( \delta _ { i j } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { i j } ) } \ .
Q = \frac { 1 } { 2 \pi R } \int _ { 0 } ^ { L } \partial _ { x } \varphi ( x , \, t ) d x \, .
i \hat { { \cal V } } ( x , y ) \; ( \equiv i { \cal V } ( x , y ) \, \hat { A } ) \to 2 \int \frac { d ^ { \, 4 } P } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, e ^ { - i P \cdot ( x - y ) } \left[ P \cdot \partial _ { X } f ( X ; P ) \right] \hat { A } .
f ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) { \bar { f } } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n k ) = 1
{ \cal D } = \left( \begin{array} { c c } { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + 4 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + 4 - \frac { 6 } { \operatorname { c o s h } ^ { 2 } x } } \\ \end{array} \right) \qquad .
S _ { b o s } \, = \, \int d ^ { 3 } x \, \left( \pm \frac { i } { 2 } A _ { \mu } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } \, - \, \frac { i } { \sqrt { 4 \pi } } s _ { \mu } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } \right) ~ ~ ~ ,
\omega _ { \pm } ( p , \sigma ) = \sqrt { C ( p ) ^ { 2 } + m _ { \sigma } ^ { 2 } + ( B ( p ) \pm \Lambda ) ^ { 2 } }
2 i \pi \Theta [ - \epsilon ( z ) ] [ \; ] { \cal B } ( - \alpha , \beta + \alpha + 1 ) \left[ e ^ { i \pi \epsilon ( z ) \alpha } - e ^ { i \pi \alpha } \right] z ^ { - \alpha - \beta - 1 } =
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ U \partial _ { \mu } { \bf X } \cdot \partial ^ { \mu } { \bf X } + U ^ { - 1 } { \cal D } _ { \mu } \varphi { \cal D } ^ { \mu } \varphi + \mu ^ { 2 } U ^ { - 1 } \right\} ,
\begin{array} { r c l l } { \langle \mu _ { \lambda _ { 1 } } \mu _ { \lambda _ { 2 } } \mu _ { \lambda _ { 3 } } \mu _ { \lambda _ { 4 } } \rangle } & { = } & { \mathcal { F } _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } , \lambda _ { 4 } } \left| \prod _ { i < j } z _ { i j } ^ { \lambda _ { i } \lambda _ { j } } \right| ^ { 2 } } & { \mathrm { f o r ~ \lambda _ 1 + \lambda _ 2 + \lambda _ 3 + \lambda _ 4 = 1 ~ } \, , } \\ \end{array}
W _ { i } ( \xi ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } i \Delta ^ { + } ( \xi , \kappa ) \rho _ { i } ( \kappa ) d \kappa , \quad i = 1 , 2
{ \bf P } = { \bf p } , \quad { \bf M } = { \bf p } \times { \bf x } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \bf p } _ { i } \times { \bf e } _ { i } = { \bf p } \times { \bf x } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } { { \bf p } ^ { \bot } } _ { i } \times { \bf e } _ { i } - \frac 1 2 \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } { \phi } _ { i j } { \bf e } _ { i } \times { \bf e } _ { j } .
{ \cal E } ^ { B } = \frac 1 { 1 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ d \tau \, a ^ { 2 } \sqrt { f ^ { \prime } } - d ( a \sqrt { f ^ { \prime } } ) ] ,
m ^ { 2 } ( a ^ { 2 } / 2 , \chi ) = \frac { \mu ^ { 2 } a ^ { 4 } } { 4 }
\tilde { D } = ( D \tilde { \theta } ) ^ { - 1 } D
{ \cal D } _ { 2 } = { \cal D } _ { 3 } | _ { r = { \rho } } + \frac { i { \gamma } ^ { 3 } } { \rho } .
\tilde { a } _ { 1 } = 2 a _ { 1 } + a _ { 3 } , \qquad \tilde { a } _ { 2 } = 2 a _ { 2 } + a _ { 3 } .
\lbrack 1 , 1 \rbrack _ { Z _ { 2 } } = \lbrack 1 , \gamma \rbrack _ { Z _ { 2 } } = 0 , \quad \lbrack \gamma , \gamma \rbrack _ { Z _ { 2 } } = - 2 .
\frac { i } { 2 \xi } \int d ^ { 4 } x ( \partial . { \hat { A } } ^ { a } ) ^ { 2 }
d s ^ { 2 } = ( r ^ { 2 } / R ^ { 2 } - 1 ) d t _ { s } ^ { 2 } - { \frac { d r ^ { 2 } } { r ^ { 2 } / R ^ { 2 } - 1 } } + r ^ { 2 } d \Omega _ { D - 2 } ^ { 2 } \; ,
{ \bf E } _ { \infty } \simeq \frac { Q \, { \bf r } } { 4 \pi r ^ { 3 } } \, , \ \, , \ \ { \bf B } _ { \infty } \simeq \frac { { \bf m } \wedge { \bf r } } { 4 \pi r ^ { 3 } } \, .
E ( l ) = \sum _ { k = 1 } ^ { l } E ( l , k ) = \frac { 1 } { l } \sum _ { d | l } \mu ( l / d ) \left\{ F _ { d + 1 } + F _ { d - 1 } \right\} \, ,
\begin{array} { c c l } { \vspace { . 2 c m } } & { } & { \omega ^ { 2 } ( x ) = - \mathrm { T r } \Big [ \Big ( W ^ { \prime } ( \hat { \Phi } ) + [ \hat { X } , \hat { Y } ] \Big ) \frac 1 { x - \hat { \Phi } } \Big ] \ , } \\ \end{array}
Q _ { 5 } = - i \int d ^ { 3 } x \langle j _ { 4 } ^ { 5 } \rangle
D _ { t } = \{ x | f ^ { 2 } ( x ) < 2 \gamma t \}
\widetilde { \cal F } ^ { ( 1 ) } ( x ) = - \int d y \int d z \int d w \Phi ^ { j } ( y ) \omega _ { j k } ( y , z ) X ^ { k l } ( z , w ) \{ \Omega _ { l } ( w ) , { \cal F } ( x ) \} _ { ( { \cal F } ) } .
\frac { \delta m _ { i } } { m _ { i } } = \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 h } \operatorname { c o t } \frac { \pi } { h } \, \, .
2 \ell \rightleftharpoons \frac { 1 } { T } \, ; \hspace { 2 c m } p \rightleftharpoons - u .
\operatorname { e x p } \left( { \frac { \Phi } { 2 } } \right) = { \frac { C _ { 0 } } { \operatorname { l o g } { \rho / \rho _ { 0 } } } } ,
\epsilon ^ { * } = - { \frac { 2 c _ { V } ( G ) } { \pi k } } ,
\frac { S } { \tilde { S } ^ { ( n ) } } = O \left( \frac { 1 } { \lambda ^ { n + 1 } { \cal T } ^ { 3 } \, V } \right) .
G ( \mu ) = G _ { 0 } l ^ { 1 - d } W ^ { \Delta } F \left( \Delta , \Delta - \frac { d } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } , 2 \Delta - d + 1 , W \right) ,
\hat { \lambda } _ { j } \cdot \hat { \sigma } _ { q } ^ { x } \hat { \gamma } _ { i } ^ { + } = \hat { \lambda }
\epsilon ^ { \mu \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } e ( e ^ { \mu { [ + 2 ] } } e ^ { \nu { [ - 2 ] } } - e ^ { \mu { [ - 2 ] } } e ^ { \nu { [ + 2 ] } } ) , \qquad \left( \epsilon ^ { { 0 1 } } = - \epsilon _ { { 0 1 } } = 1 \right) ,
{ \cal L } ^ { ( 2 ) } = \pi ^ { a } \partial _ { 0 } { n } ^ { a } - \Omega _ { 1 } \partial _ { 0 } { \rho } - \Omega _ { 2 } \partial _ { 0 } { \sigma } - { \cal H } ^ { ( 2 ) } ,
\left( \begin{array} { c } { \delta _ { \; \; \beta } ^ { \alpha } } \\ { - \delta _ { \; \; \beta } ^ { \alpha } } \\ \end{array} \right) .
e ^ { i \Gamma [ A ] } = \int { \cal D } \psi { \cal D } \overline { \psi } e ^ { i \int d ^ { 2 } x \overline { \psi } i D \! \! \! / \psi } ,
F ^ { T } \rightarrow - { \frac { 1 } { T ^ { 2 } } } ~ F ^ { T } \; .
\Pi ( q ) \equiv \prod _ { i < j } \sigma ( q _ { i j } ) , \hspace { 1 c m } \sqrt { g } = - \frac { l } { n } \sigma ^ { \prime } ( 0 ) ,
\int A _ { ( 3 ) } \wedge X _ { 8 } \ , \qquad \mathrm { w i t h } \quad X _ { 8 } = { \frac { 1 } { 2 4 } } \left( p _ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } p _ { 1 } \wedge p _ { 1 } \right) \ .
\begin{array} { l } { t ^ { \prime } e ^ { \prime } { t ^ { \prime } } ^ { - 1 } = q ^ { 2 } e ^ { \prime } ~ , ~ ~ ~ ~ t ^ { \prime } f ^ { \prime } { t ^ { \prime } } ^ { - 1 } = q ^ { - 2 } f ^ { \prime } ~ , } \\ { [ e ^ { \prime } , f ^ { \prime } ] = \displaystyle \frac { t ^ { \prime } - { t ^ { \prime } } ^ { - 1 } } { q - q ^ { - 1 } } ~ , } \\ { \Delta ( e ^ { \prime } ) = e ^ { \prime } \otimes { t ^ { \prime } } ^ { - n } + { t ^ { \prime } } ^ { 1 - n } \otimes e ^ { \prime } ~ , } \\ { \Delta ( f ^ { \prime } ) = f ^ { \prime } \otimes { t ^ { \prime } } ^ { n - 1 } + { t ^ { \prime } } ^ { n } \otimes f ~ , } \\ { \Delta ( t ^ { \prime } ) = t ^ { \prime } \otimes t ^ { \prime } ~ , } \\ { \epsilon ( e ^ { \prime } ) = 0 = \epsilon ( f ^ { \prime } ) ~ , ~ ~ ~ ~ \epsilon ( t ^ { \prime } ) = 1 ~ , } \\ { S ( e ^ { \prime } ) = - t ^ { - 1 } e ^ { \prime } ~ , ~ ~ ~ ~ S ( f ^ { \prime } ) = - f ^ { \prime } t ^ { \prime } ~ , ~ ~ ~ ~ S ( t ^ { \prime } ) = t ^ { - 1 } ~ . } \\ \end{array}
F _ { i j } = \partial _ { i } A _ { j } - \partial _ { j } A _ { i } - i A _ { i } \star A _ { j } + i A _ { j } \star A _ { i }
\mu _ { + } ^ { - 1 } \mu _ { - } = \nu _ { - } \eta \nu _ { + } ^ { - 1 } ,
f ( \rho ) = \frac { C } { \rho } , \qquad a ( \rho ) = \frac { D } { \rho ^ { \beta } }
\rho = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { x _ { i } ^ { 2 } } { m } + k q _ { i } ^ { 2 } \right)
{ \cal Q } _ { k } = \oint _ { \partial \Sigma } d \Sigma _ { \mu \nu } \gamma ^ { \mu \nu \lambda } \hat { \nabla } _ { \lambda } \epsilon _ { k } = 0 \ .
q _ { - } ^ { \prime } - \frac { 1 } { \Delta _ { \perp } } \ast \rho _ { 2 } \ ,
{ \bf J } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { p ^ { \dagger } } & { q ^ { \dagger } } \\ \end{array} \right) { \bf \sigma } \left( \begin{array} { c } { p } \\ { q } \\ \end{array} \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { r ^ { \dagger } } & { s ^ { \dagger } } \\ \end{array} \right) { \bf \sigma } \left( \begin{array} { c } { r } \\ { s } \\ \end{array} \right)
m _ { l } / M = \mathrm { L o g } \left( \frac { F _ { l } } { F _ { 0 } } \right) .
\begin{array} { c } { s c = c \partial c \; , } \\ { s b = - ( \partial b ) c - 2 b \partial c \; . } \\ \end{array}
E _ { \mathrm { i n } } = - \frac { 1 } { 2 \pi a }
\begin{array} { l l } { z ^ { \prime } = z + \varepsilon \zeta \theta ; } & { \theta ^ { \prime } = \theta + \varepsilon \zeta } \\ { \bar { z } ^ { \prime } = \bar { z } - \bar { \varepsilon } \bar { \zeta } \bar { \theta } ; } & { \bar { \theta } ^ { \prime } = \bar { \theta } + \bar { \varepsilon } \bar { \zeta } . } \\ \end{array}
- \frac { 1 } { 2 } { \bf \nabla } _ { \rho } ^ { 2 } \psi ( \rho ) = E \psi ( \rho ) .
F ( x ) \equiv \int _ { 0 } ^ { x } d x \, \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } + { \frac { 1 } { i \alpha } } \operatorname { l n } ( x ^ { 2 } + 1 ) , \quad \alpha \equiv { \frac { 2 \beta } { \hbar v g } } = { \frac { 4 } { \hbar v g ^ { 2 } [ V _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) - V _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) ] } } > 0 .
E ( l , k ) = \delta _ { l , 2 } \delta _ { k , 1 } + \frac { 2 } { l + k } \sum _ { 2 d | l \pm k } \mu ( d ) { \binom { \frac { l + k } { 2 d } } { \frac { l - k } { 2 d } } } \, ,
\alpha _ { 1 } ^ { r } \gamma _ { 1 } + \dots + \alpha _ { N } ^ { r } \gamma _ { N } = 0 \quad ( r = 1 , . . . , R ) \; ,
\eta = - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { l n } \left( \frac { \operatorname { c o s h } \left( \sqrt { 2 } b _ { \infty } \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } \; y - \mathrm { a r c s i n h } \; \alpha \right) } { \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } } \right)
P _ { ( 2 ) } ^ { - } = \int \beta d \beta d ^ { 9 } p d ^ { 8 } \lambda \Phi ( - p , - \lambda ) \left( - \frac { p ^ { I } p ^ { I } } { 2 \beta } \right) \Phi ( p , \lambda ) \, .
\Gamma ( z + 1 ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \, d x \, \, e ^ { - x } x ^ { z } .
\frac { d } { d s } { \bf C } _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } { \bf C } _ { j } \times { \bf C } _ { k } \, .
Z = \sum _ { s p i n s } \prod _ { c u b e s } W ( a | e , f , g | b , c , d | h ) ,
\left\{ Q ^ { i } , Q ^ { j } \right\} = c ^ { i j } \Gamma ^ { M } C P _ { M } + C c ^ { i j } Z ,
\breve { c } _ { n , \nu } = \sum _ { m = n } ^ { 2 n } { \frac { \Gamma \left( \nu + m - { \frac { D - 1 } { 2 } } \right) } { \Gamma \left( \nu + n - { \frac { D - 1 } { 2 } } \right) } } ~ \breve { a } _ { 2 ( m - n ) , m } ~ ~ ~ .
R ( g ) = - f \left[ 3 \left[ ( \operatorname { l n } f ) ^ { \prime } \right] ^ { 2 } + \frac { \Lambda ( x ^ { 5 } ) } { M ^ { 3 } } \right] \; ,
{ \frac { d } { d s } } { \frac { 1 } { \Gamma ( - s ) } } \bigg | _ { s = 0 } = - 1 ,
\dot { z } _ { 1 } = - N ^ { z } ( z _ { 1 } ) = - g ( z _ { 1 } ) = - \frac { z _ { 1 } } { P _ { z } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) } ; ~ ~ ~ \dot { z } _ { 2 } = - \frac { z _ { 2 } } { P _ { z } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) }
c _ { \alpha } = \sum _ { \beta \in \Lambda _ { R } } \epsilon ( \alpha , \beta ) | \beta + \bar { p } > < \beta + \bar { p } |
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \bar { \psi } } ( i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } - m ) \psi \, ,
e ^ { i { \bf k \cdot r } } = e ^ { i k r \operatorname { c o s } ( \theta - \Theta ) } = \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } i ^ { l } \, J _ { l } ( k r ) \, e ^ { i l ( \theta - \Theta ) } \, ,
i \sqrt { 2 } \partial _ { - } \chi - g [ \phi , \psi ] = 0 , \quad \partial _ { - } ^ { 2 } \bar { A } _ { + } - g ^ { 2 } J ^ { + } = 0 .
\Omega _ { k } ^ { ( l ) } = \sum _ { s = 0 } \int d ^ { 3 } y \left( ( - 1 ) ^ { s + 1 } \frac { d ^ { s } } { d t ^ { s } } \phi _ { k } ^ { i ( s ) } ( x , y ) L _ { i } ^ { ( 0 ) } ( y ) \right) .
L _ { g } ^ { ' } \Bigl ( v ( h ) \Bigr ) = v ( L _ { g } h ) = v ( g h ) \, , \, \, \, \forall g , h \in G ,
\xi ^ { 2 } = \left( \frac { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 2 } } { \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } \right) ^ { 2 } ,
R ( e _ { 1 } ) = \epsilon ^ { - J _ { 6 7 } + J _ { 8 9 } } , \quad R ( e _ { 2 } ) = \epsilon ^ { J _ { 4 5 } - J _ { 8 9 } } .
{ \tilde { \cal { E } } } _ { m < 0 } = { \cal { E } } _ { m < 0 } ( B ) - { \cal { E } } ( 0 ) = \frac { B ^ { 2 } } { 2 } + \frac { ( e B ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 2 \pi } g \left( \frac { e B } { m ^ { 2 } } \right) \, ,
\hat { O } _ { 2 } ^ { r } \mid 1 > _ { ( 0 ) } = { O } _ { 2 } ^ { r } \mid 0 > _ { ( 0 ) } .
I ^ { c } = \mp { \frac { \pi b \sqrt { 1 - \Lambda a ^ { 2 } } } { 2 G } } \ \ ,
g _ { n } ^ { > } ( r , r ^ { \prime } ) = E _ { n } K _ { | n / \alpha | } ( \beta r ) , \quad \mathrm { f o r ~ r > r ^ { ' } ~ . }
R ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \theta ) _ { \left| \left. a _ { k } \dots \frac { 1 } { 2 } , a _ { 1 } , \frac { 1 } { 2 } \right| n _ { k } \dots , m _ { 1 } , n _ { 1 } \right\rangle } ^ { \left| \left. b _ { k } \dots \frac { 1 } { 2 } , b _ { 1 } , \frac { 1 } { 2 } \right| n _ { k } \dots , m _ { 1 } , n _ { 1 } \right\rangle } = R _ { a _ { 1 } b _ { 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \theta ) \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } f _ { b _ { i } b _ { i + 1 } } ^ { a _ { i } a _ { i + 1 } } ( w _ { m _ { i } } , \nu _ { n _ { i + 1 } } , \theta )
Q _ { 1 } ^ { a b } ( x , y ) \equiv Q _ { 1 } ^ { a b } + x \, J _ { 1 } ^ { a b } + y \, K _ { 1 } ^ { a b } ,
\left\{ \begin{array} { c } { \partial _ { \tau } R + \vec { \nabla } \cdot \left( \vec { \nabla } \Theta \, \sqrt { \displaystyle \frac { R ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { 1 + ( \vec { \nabla } \Theta ) ^ { 2 } } } \right) = 0 , \hfill } \\ { \partial _ { \tau } \Theta + R \sqrt { \displaystyle \frac { 1 + ( \vec { \nabla } \Theta ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } = 0 . \hfill } \\ \end{array} \right.
\Delta ^ { ( N , 0 ) } ( s ) = - \sum _ { n > 0 , \vec { n } ^ { 2 } < N } \left[ J ( z _ { n } ) - 2 + 2 J ( y _ { n } ) + \frac { J ^ { 2 } ( y _ { n } ) } { 2 ( 1 - y _ { n } ) } - J ( \tilde { z } _ { n } ) - 2 J ( \tilde { y } _ { n } ) \right] \ ,
\left\{ \Psi \circ \mu , f \right\} = ( \overline { X } _ { i } f ) \, ( Y ^ { i } \Psi ) \circ \mu \, ,
F _ { n } ^ { \mathcal { O } | \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ( \theta _ { 1 } + \lambda , \ldots , \theta _ { n } + \lambda ) = e ^ { s \lambda } F _ { n } ^ { \mathcal { O } | \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ( \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { n } ) \, \, ,
S = S _ { P h y s . } ( \Phi ^ { a } , \Phi ^ { \ast a } ) + S _ { T } ( \vartheta ^ { b } , \vartheta ^ { \ast b } , c ^ { \alpha } )
\mathcal { A } \equiv \operatorname { e x p } \left[ \int _ { 0 } ^ { \lambda } d \tilde { \lambda } \, \theta ( \tilde { \lambda } ) \right] \, .
F _ { - { \frac { 1 } { 2 } } } ( x ) = \bar { \epsilon } _ { 0 } S ( x ) e ^ { - 1 / 2 \phi ( x ) } \; , \qquad F _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x ) = \bar { \epsilon } _ { 0 } \gamma _ { \mu } S ( x ) \partial X ^ { \mu } ( x ) e ^ { 1 / 2 \phi ( x ) } ,
\rho ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \\ \end{array} \right) \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \rho ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { i } \\ { i } & { 0 } \\ \end{array} \right) .
\psi = \sum _ { i = 0 } ^ { 3 } ( \psi _ { i } ^ { A } + ( \psi _ { i } ^ { A } ) ^ { c } ) T ^ { A }
G = \! e ^ { i \tau L _ { - 1 } } e ^ { i U ^ { ( 1 ) } L _ { 1 } } e ^ { i U ^ { ( 2 ) } L _ { 2 } } e ^ { i U ^ { ( 3 ) } L _ { 3 } } \ldots \! e ^ { i { U ^ { ( 0 ) } } L _ { 0 } } ,
V ( z , \bar { z } ) = e ^ { - q \Phi ( z ) } e ^ { i \alpha \cdot H } e ^ { i ( P _ { R } \cdot X _ { R } - P _ { L } \cdot X _ { L } ) } \; ,
\epsilon _ { i } = \tau _ { i } + \rho _ { i } + \rho _ { i - 1 } , \quad ( \tau _ { 3 } = 0 , \: \rho _ { 0 } = \rho _ { 4 } )
s _ { \infty } ( k ^ { 2 } ) - s _ { J _ { \operatorname* { m a x } } } ( k ^ { 2 } ) \sim O ( J _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - 2 } ) .
A ( u ) ~ = ~ \mathrm { R e s } \vert _ { v = u } ^ { } \left( { \frac { 1 } { v - u } } \, R ( u , v ) \cdot L ( v ) \right) + \, { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \, \zeta ( 2 u ) \, L ( u )
\partial _ { a } ^ { m } \Gamma _ { i } = \frac { \Gamma ^ { n } } { \lambda _ { i } } \{ \delta _ { n m } \psi _ { a } ^ { i } - \phi _ { b } ^ { n } \phi _ { c } ^ { m } \psi _ { b } ^ { i } \psi _ { c } ^ { i } \frac { \psi _ { a } ^ { i } } { \lambda _ { i } ^ { 2 } } + \phi _ { b } ^ { n } \phi _ { c } ^ { m } \sum _ { j \neq i } \psi _ { b } ^ { j } \frac { ( \psi _ { c } ^ { i } \psi _ { a } ^ { j } + \psi _ { a } ^ { i } \psi _ { c } ^ { j } ) } { ( \lambda _ { i } ^ { 2 } - \lambda _ { j } ^ { 2 } ) } \} \vspace { - 1 2 p t }
\int \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 1 } ~ \cdots ~ \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { n } ~ P _ { 4 } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ~ \Gamma _ { x _ { 1 } \cdots x _ { n } 0 } = 0
L = \frac { \dot { x } _ { \mu } ^ { 2 } } { 2 e } + \frac { \lambda } { l } ( e - M ^ { - 1 } \dot { x } { } ^ { 0 } ) ,
J _ { 2 } ( z ) \times X ^ { + } ( w ) \rightarrow 0 .
F ( z _ { 1 2 } ^ { \prime } ) = \bar { K } ( z _ { 2 } ; g ) F ( z _ { 1 2 } ) K ( z _ { 1 } ; g )
{ \xi } _ { i } ^ { \ast } , { p } _ { i } ^ { \ast } , \quad i = 2 , \dots , l + 1
\varrho _ { L } - { \cal L } _ { E } = [ 2 \dot { \Phi } ^ { 2 } ] \; K ^ { \prime } ( \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) - K ( \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) + K ( - \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) .
K ^ { \prime } = \sqrt { c - 2 f } \ , \ \ \ K ^ { \prime \prime } = - \frac { 1 } { \sqrt { c - 2 f } } \ ,
\kappa _ { \omega } = \frac { 2 \Gamma ( \Delta _ { \omega } ) } { \pi \Gamma ( 1 - \Delta _ { \omega } ) } \left( \frac { \sqrt { \pi } \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - 2 \Delta _ { \omega } } \right) } { 2 \Gamma \left( \frac { \Delta _ { \omega } } { 2 - 2 \Delta _ { \omega } } \right) } \right) ^ { 2 - 2 \Delta _ { \omega } } \, .
< \frac { 1 } { 2 } , m _ { s } | { \psi } _ { - } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } ( g ) > \equiv D _ { m _ { s } - \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } ( g ) = < g , l + \frac { 1 } { 2 } | T _ { m _ { s } - } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | g , l > .
\sum _ { l , n } \frac { \mu _ { p - 1 } \lambda ^ { k + n + l } i ^ { k } p ! } { k ! n ! l ! ( p - l ) ! } \partial _ { x ^ { i _ { 1 } } } \ldots \partial _ { x ^ { i _ { n } } } C _ { i _ { 1 } ^ { \prime } \ldots i _ { 2 k } ^ { \prime } j _ { 1 } \ldots j _ { l } [ a _ { l + 1 } \ldots a _ { p } } ^ { 0 } S t r \left( \partial _ { a _ { 1 } } \phi ^ { j _ { 1 } } \ldots \partial _ { a _ { l } ] } \phi ^ { j _ { l } } \phi ^ { i _ { 1 } } \ldots \phi ^ { i _ { n } } \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } \ldots \right)
D ^ { \mu } \frac { \delta f ( A _ { \nu } ) } { \delta A _ { \mu } } = D _ { \mu } \partial ^ { \mu } ( \partial _ { \nu } A ^ { \nu } )
\delta \chi _ { \mu \nu } = i b _ { \mu \nu } , \qquad \delta b _ { \mu \nu } = 0 .
V _ { a b \ \ m n } ^ { k } = \frac { 1 } { g } \ E _ { a } ^ { r } \ E _ { b } ^ { s } \epsilon _ { r s ( m } \ \delta _ { n ) } ^ { i } .
f ( r ) = \left( 1 - \frac { m } { 2 r ^ { n - 1 } } \right) ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } .
E _ { 1 2 } ~ ~ \Phi = 2 \sqrt { ( m + \frac { 1 } { 2 } b r ) ^ { 2 } + p _ { r } ^ { 2 } + \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { r ^ { 2 } } } ~ ~ \Phi ,
T _ { \mathit { G } } ( - t , - t ^ { - 1 } ) = T _ { \mathit { G } ^ { \ast } } ( - t ^ { - 1 } , - t )
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = d x ^ { + } d x ^ { - } + l _ { p } ^ { 9 } \frac { p _ { - } } { r ^ { 7 } } \delta ( x ^ { - } ) d x ^ { - } d x ^ { - } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + \ \cdots \ + d x _ { 9 } ^ { 2 }
F _ { a b } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { a b c d } F ^ { c d }
2 f ^ { 2 } - 4 f ^ { 2 } - g ^ { 2 } ( 1 - \Gamma ) \, ,
( a ^ { \dagger } L _ { m n } a ) = a _ { k } ^ { \dagger } ( L _ { m n } ) _ { k l } a _ { l } = i a _ { [ m } ^ { \dagger } a _ { n ] } , \; \; \; \; \; \; ( L _ { m n } ) _ { k l } = i ( \delta _ { m k } \delta _ { n l } - \delta _ { n k } \delta _ { m l } )
\int d t d ^ { 3 } x \bar { \lambda } \partial ^ { \mu } \gamma _ { \mu } \lambda ,
h = { \frac { s \lambda } { 1 + 2 n + s N + | N | } } ,
Q = c \sum _ { i } f _ { i } ^ { \prime } p ^ { i } + \sum _ { k } c _ { k } p ^ { k } f _ { k } + i n f i n i t e \: m o r e .
\mathrm { T r } \, \operatorname { l o g } ( 1 - \sum _ { i = 0 } ^ { N } A _ { i } ) ~ = ~ \mathrm { T r } \, \operatorname { l o g } ( 1 - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 0 } ^ { k - 1 } A _ { k } \phi ^ { m } ) + \mathrm { T r } \, \operatorname { l o g } ( 1 - \phi ) ~ .
H _ { i j } ^ { a } = F _ { i j } ^ { a } - g f _ { \; \; b c } ^ { a } A _ { i } ^ { b } A _ { j } ^ { c } ,
{ \tilde { \rho } } _ { { \bf { q } } } = \sum _ { { \bf { k } } } [ \Lambda _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) a _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) + \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) a _ { { \bf { k } } } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } ) ]
{ \bf N } ( { \bf p } , { \bf s } ) : = i p _ { 0 } { \nabla } _ { \bf p } - \frac { { \bf s } \times { \bf p } } { p _ { 0 } + m } , \quad { \bf J } ( { \bf p } , { \bf s } ) : = - i { \bf p } \times { \bf \nabla } _ { \bf p } + { \bf s } : = { \bf L } ( { \bf p } ) + { \bf s } ,
A _ { \mu } \; = \; \partial _ { \mu } \varphi + \epsilon _ { \mu \nu } \, \partial _ { \nu } \sigma \; .
C _ { J } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) = ( 2 J + \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } + 1 ) \frac { { \mit \Gamma } ( J + 1 ) { \mit \Gamma } ( J + \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } + 1 ) } { { \mit \Gamma } ( J + \nu _ { 1 } + 1 ) { \mit \Gamma } ( J + \nu _ { 2 } + 1 ) } \, .
( \psi \otimes _ { \zeta , z } \chi ) \mapsto ( e ^ { - u L _ { - 1 } } \psi \otimes _ { \zeta + u , z + v } e ^ { - v L _ { - 1 } } \chi ) ,
u _ { 0 } ( k , r ) = \sqrt { { \displaystyle { \frac { \pi } { 2 } } } } \, i \sqrt { r } \, J _ { 0 } ( k r ) - \sqrt { { \displaystyle { \frac { \pi } { 2 } } } } \, A ( k ) \sqrt { k r } \, H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k r ) .
J _ { k } = \oint p _ { k } d q _ { k } , ~ ~ k = r , ~ \theta , ~ \phi ,
\delta _ { \perp } \kappa _ { 1 } = \kappa _ { 3 } \kappa _ { 2 } \Psi _ { 3 } + 2 \kappa _ { 2 } \Psi _ { 2 } { } ^ { \prime } + \kappa _ { 2 } ^ { \prime } \Psi _ { 2 } + \Psi _ { 1 } { } ^ { \prime \prime } - \left( \kappa _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } { } ^ { 2 } \right) \Psi _ { 1 } \, .
\left( \gamma _ { \mu } \partial _ { \mu } + m \right) \psi ^ { ( b ) } ( x ) = 0 , \hspace { 0 . 5 i n } b = 1 , 2 , 3 , 4
f _ { \alpha } ( x ) = \left( 4 \operatorname { s i n } ^ { 2 } \frac { x } { 2 } \right) ^ { \alpha } .
r _ { h } ^ { 2 } = \frac { l ^ { 2 } } { 2 } ( \sqrt { K ^ { 2 } + 4 l ^ { - 2 } \mu } - K ) .
\mu ^ { \prime \prime } + \biggl [ n ^ { 2 } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } \biggr ] \mu = 0 .
x _ { \overline { m } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { m } + x _ { m + 1 } ) ,
S _ { i j } \left( \theta \right) = \prod _ { x , y } \left[ x , y \right] _ { \theta }
A _ { d } ( p ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } d - 2 } \left[ \left( 1 + v ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } d - \frac { 3 } { 2 } } + \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } d - \frac { 1 } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( d ) } \frac { ( v ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } - 1 } } { 1 + v ^ { 2 } } { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( \textstyle { { \frac { 1 } { 2 } d - \frac { 1 } { 2 } , 1 ; \frac { 1 } { 2 } d ; \frac { v ^ { 2 } } { 1 + v ^ { 2 } } } } \right) \right] \, \ \cdot
\psi _ { c } ( x ) = \gamma ^ { 1 } \psi ^ { * } ( x ) \ ,
L = L ^ { \Lambda } { \bf T } _ { \Lambda } = d Z ^ { M } L _ { M } { } ^ { \Lambda } { \bf T } _ { \Lambda } \, .
z _ { t , 0 } ^ { ' ( r ) } \quad = \quad z _ { t , 0 } ^ { ' ^ { \prime } ( r ) } \quad = \quad 0 \qquad ( 1 \le t \le r , \, \, \mathrm { { a l l } } \, \, r ) \, ;
d T ( x ) = \left( \begin{array} { c c } { \delta ( x ) 1 _ { N - k } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \delta ( x ) 1 _ { k } } \\ \end{array} \right) d x
1 - \frac { 2 G M } { \rho } = ( \nabla \rho ) ^ { 2 } \equiv f
M _ { g } = M _ { c _ { 1 } } M _ { c _ { 2 } } M _ { c _ { 3 } } M _ { c _ { 4 } } M _ { c _ { 5 } } M _ { r = \infty } = 1
\delta F \left( \operatorname { s i n } \theta \, d x ^ { 0 } d x ^ { 1 } , 0 , 0 , \epsilon \, d x ^ { 0 } \cdots d x ^ { 3 } \right) .
S _ { \mathrm { p a r t } , 0 } ^ { ( \mathrm { N } ) } = \int d t \, \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } \left( \xi _ { \alpha } ^ { \underl
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"path": "data/vocab.txt",
"chars": 1352,
"preview": "!\n&\n'\n(\n)\n*\n+\n,\n-\n.\n/\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n:\n;\n<\n=\n>\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nI\nJ\nK\nL\nM\nN\nO\nP\nQ\nR\nS\nT\nU\nV\nW\nX\nY\nZ\n[\n\\\n\\!\n\\,\n\\:\n\\;\n"
},
{
"path": "opennmt/Constants.lua",
"chars": 142,
"preview": "return {\n PAD = 1,\n UNK = 2,\n BOS = 3,\n EOS = 4,\n\n PAD_WORD = '<blank>',\n UNK_WORD = '<unk>',\n BOS_WORD = '<s>',\n"
},
{
"path": "opennmt/Factory.lua",
"chars": 6959,
"preview": "local Factory = torch.class('Factory')\n\nlocal options = {\n {\n '-brnn', false,\n [[Use a bidirectional encoder.]],\n"
},
{
"path": "opennmt/LanguageModel.lua",
"chars": 4950,
"preview": "--[[ Language Model. ]]\nlocal LanguageModel, parent = torch.class('LanguageModel', 'Model')\n\nlocal options = {\n {\n '"
},
{
"path": "opennmt/Model.lua",
"chars": 2890,
"preview": "--[[ Generic Model class. ]]\nlocal Model = torch.class('Model')\n\nlocal options = {\n {\n '-model_type', 'seq2seq',\n "
},
{
"path": "opennmt/ModelSelector.lua",
"chars": 274,
"preview": "return function(modelType)\n if modelType == 'seq2seq' then\n return onmt.Seq2Seq\n elseif modelType == 'lm' then\n "
},
{
"path": "opennmt/Seq2Seq.lua",
"chars": 5151,
"preview": "--[[ Sequence to sequence model with attention. ]]\nlocal Seq2Seq, parent = torch.class('Seq2Seq', 'Model')\n\nlocal option"
},
{
"path": "opennmt/SeqTagger.lua",
"chars": 4239,
"preview": "--[[ Sequence to sequence model with attention. ]]\nlocal SeqTagger, parent = torch.class('SeqTagger', 'Model')\n\nlocal op"
},
{
"path": "opennmt/data/AliasMultinomial.lua",
"chars": 4521,
"preview": "\n--[[\n Copied with small adjustments from:\n https://github.com/nicholas-leonard/torchx/blob/master/AliasMultinomial.l"
},
{
"path": "opennmt/data/Batch.lua",
"chars": 8632,
"preview": "--[[ Return the maxLength, sizes, and non-zero count\n of a batch of `seq`s ignoring `ignore` words.\n--]]\nlocal function"
},
{
"path": "opennmt/data/BatchTensor.lua",
"chars": 602,
"preview": "local BatchTensor = torch.class('BatchTensor')\n\n--[[\n Take Batch x TimeStep x layer size tensors\n]]\nfunction BatchTenso"
},
{
"path": "opennmt/data/Dataset.lua",
"chars": 3382,
"preview": "--[[ Data management and batch creation. Handles data created by `preprocess.lua`. ]]\nlocal Dataset = torch.class(\"Datas"
},
{
"path": "opennmt/data/Preprocessor.lua",
"chars": 12052,
"preview": "--[[ Data Preparation functions. ]]\n\nlocal function vecToTensor(vec)\n local t = torch.Tensor(#vec)\n for i = 1, #vec do"
},
{
"path": "opennmt/data/SampledDataset.lua",
"chars": 11094,
"preview": "--[[ Data management and batch creation. Handles data created by `preprocess.lua`. ]]\n\nlocal SampledDataset = torch.clas"
},
{
"path": "opennmt/data/Vocabulary.lua",
"chars": 5590,
"preview": "local path = require('pl.path')\n\n--[[ Vocabulary management utility functions. ]]\nlocal Vocabulary = torch.class(\"Vocabu"
},
{
"path": "opennmt/data/init.lua",
"chars": 411,
"preview": "local data = {}\n\ndata.Dataset = require('opennmt.data.Dataset')\ndata.AliasMultinomial = require('opennmt.data.AliasMulti"
},
{
"path": "opennmt/init.lua",
"chars": 622,
"preview": "require('torch')\n\nonmt = {}\n\nonmt.utils = require('opennmt.utils.init')\n\nrequire('opennmt.modules.init')\n\nonmt.data = re"
},
{
"path": "opennmt/modules/BiEncoder.lua",
"chars": 7694,
"preview": "---------------------------------------------------------------------------------\n-- Local utility functions\n-----------"
},
{
"path": "opennmt/modules/DBiEncoder.lua",
"chars": 4369,
"preview": "--[[ DBiEncoder is a deep bidirectional Sequencer used for the source language.\n\n\n--]]\nlocal DBiEncoder, parent = torch."
},
{
"path": "opennmt/modules/Decoder.lua",
"chars": 14507,
"preview": "--[[ Unit to decode a sequence of output tokens.\n\n . . . .\n | | | |\n"
},
{
"path": "opennmt/modules/Encoder.lua",
"chars": 8310,
"preview": "--[[ Encoder is a unidirectional Sequencer used for the source language.\n\n h_1 => h_2 => h_3 => ... => h_n\n | "
},
{
"path": "opennmt/modules/FeaturesEmbedding.lua",
"chars": 1273,
"preview": "--[[\n A nngraph unit that maps features ids to embeddings. When using multiple\n features this can be the concatenation"
},
{
"path": "opennmt/modules/FeaturesGenerator.lua",
"chars": 823,
"preview": "--[[ Feature decoder generator. Given RNN state, produce categorical distribution over\ntokens and features.\n\n Implement"
},
{
"path": "opennmt/modules/GRU.lua",
"chars": 4363,
"preview": "require('nngraph')\n\n--[[\nImplementation of a single stacked-GRU step as\nan nn unit.\n\n h^L_{t-1} --- h^L_t\n "
},
{
"path": "opennmt/modules/Generator.lua",
"chars": 859,
"preview": "--[[ Default decoder generator. Given RNN state, produce categorical distribution.\n\nSimply implements $$softmax(W h + b)"
},
{
"path": "opennmt/modules/GlobalAttention.lua",
"chars": 2803,
"preview": "require('nngraph')\n\n--[[ Global attention takes a matrix and a query vector. It\nthen computes a parameterized convex com"
},
{
"path": "opennmt/modules/JoinReplicateTable.lua",
"chars": 4190,
"preview": "local JoinReplicateTable, parent = torch.class('onmt.JoinReplicateTable', 'nn.Module')\n\nfunction JoinReplicateTable:__in"
},
{
"path": "opennmt/modules/LSTM.lua",
"chars": 3520,
"preview": "require('nngraph')\n\n--[[\nImplementation of a single stacked-LSTM step as\nan nn unit.\n\n h^L_{t-1} --- h^L_t\n c^"
},
{
"path": "opennmt/modules/MaskedSoftmax.lua",
"chars": 1703,
"preview": "require('nngraph')\n\n--[[ A batched-softmax wrapper to mask the probabilities of padding.\n\n For instance there may be a "
},
{
"path": "opennmt/modules/Network.lua",
"chars": 571,
"preview": "--[[ Wrapper around a single network. ]]\nlocal Network, parent = torch.class('onmt.Network', 'nn.Container')\n\nfunction N"
},
{
"path": "opennmt/modules/NoAttention.lua",
"chars": 729,
"preview": "require('nngraph')\n\n--[[ No attention module\n\n--]]\nlocal NoAttention, parent = torch.class('onmt.NoAttention', 'onmt.Net"
},
{
"path": "opennmt/modules/PDBiEncoder.lua",
"chars": 5742,
"preview": "--[[ PDBiEncoder is a pyramidal deep bidirectional Sequencer used for the source language.\n\n\n--]]\nlocal PDBiEncoder, par"
},
{
"path": "opennmt/modules/ParallelClassNLLCriterion.lua",
"chars": 604,
"preview": "--[[\n Define parallel ClassNLLCriterion.\n--]]\nlocal ParallelClassNLLCriterion, parent = torch.class('onmt.ParallelClass"
},
{
"path": "opennmt/modules/Sequencer.lua",
"chars": 2602,
"preview": "require('nngraph')\n\n--[[ Sequencer is the base class for encoder and decoder models.\n Main task is to manage `self.net("
},
{
"path": "opennmt/modules/WordEmbedding.lua",
"chars": 1518,
"preview": "--[[ nn unit. Maps from word ids to embeddings. Slim wrapper around\nnn.LookupTable to allow fixed and pretrained embeddi"
},
{
"path": "opennmt/modules/init.lua",
"chars": 747,
"preview": "onmt = onmt or {}\n\nrequire('opennmt.modules.Sequencer')\nrequire('opennmt.modules.Encoder')\nrequire('opennmt.modules.BiEn"
},
{
"path": "opennmt/tagger/Tagger.lua",
"chars": 4362,
"preview": "local Tagger = torch.class('Tagger')\n\nlocal options = {\n {\n '-model', '',\n [[Path to the serialized model file.]]"
},
{
"path": "opennmt/tagger/init.lua",
"chars": 83,
"preview": "local tagger = {}\n\ntagger.Tagger = require('opennmt.tagger.Tagger')\n\nreturn tagger\n"
},
{
"path": "opennmt/train/Checkpoint.lua",
"chars": 4930,
"preview": "-- Class for saving and loading models during training.\nlocal Checkpoint = torch.class('Checkpoint')\n\nlocal options = {\n"
},
{
"path": "opennmt/train/EpochState.lua",
"chars": 1797,
"preview": "--[[ Class for managing the training process by logging and storing\n the state of the current epoch.\n]]\nlocal EpochStat"
},
{
"path": "opennmt/train/Optim.lua",
"chars": 6819,
"preview": "---------------------------------------------------------------------------------\n-- Local utility functions\n-----------"
},
{
"path": "opennmt/train/Trainer.lua",
"chars": 11062,
"preview": "---------------------------------------------------------------------------------\n-- Local utility functions\n-----------"
},
{
"path": "opennmt/train/init.lua",
"chars": 236,
"preview": "local train = {}\n\ntrain.Trainer = require('opennmt.train.Trainer')\ntrain.Checkpoint = require('opennmt.train.Checkpoint'"
},
{
"path": "opennmt/translate/Advancer.lua",
"chars": 2693,
"preview": "--[[ Class for specifying how to advance one step. A beam mainly consists of\n a list of `tokens` and a `state`. `tokens"
},
{
"path": "opennmt/translate/Beam.lua",
"chars": 17105,
"preview": "--[[ Class for maintaining statistics of each step. A beam mainly consists of\n a list of tokens `tokens` and a state `s"
},
{
"path": "opennmt/translate/BeamSearcher.lua",
"chars": 7553,
"preview": "--[[ Class for managing the internals of the beam search process.\n\n\n hyp1---hyp1---hyp1 -hyp1\n \\ "
},
{
"path": "opennmt/translate/DecoderAdvancer.lua",
"chars": 5466,
"preview": "--[[ DecoderAdvancer is an implementation of the interface Advancer for\n specifyinghow to advance one step in decoder.\n"
},
{
"path": "opennmt/translate/PhraseTable.lua",
"chars": 728,
"preview": "--[[Parse and lookup a words from a phrase table.\n--]]\nlocal PhraseTable = torch.class('PhraseTable')\n\nfunction PhraseTa"
},
{
"path": "opennmt/translate/Translator.lua",
"chars": 10854,
"preview": "local Translator = torch.class('Translator')\n\nlocal options = {\n {\n '-model', '',\n [[Path to the serialized model"
},
{
"path": "opennmt/translate/init.lua",
"chars": 418,
"preview": "local translate = {}\n\ntranslate.Advancer = require('opennmt.translate.Advancer')\ntranslate.Beam = require('opennmt.trans"
},
{
"path": "opennmt/utils/CrayonLogger.lua",
"chars": 765,
"preview": "local CrayonLogger = torch.class('CrayonLogger')\n\nlocal options = {\n {\n '-exp_host', '127.0.0.1',\n [[Crayon serve"
},
{
"path": "opennmt/utils/Cuda.lua",
"chars": 4454,
"preview": "local ExtendedCmdLine = require('opennmt.utils.ExtendedCmdLine')\n\nlocal Cuda = {\n fp16 = false,\n gpuIds = {},\n activa"
},
{
"path": "opennmt/utils/Dict.lua",
"chars": 4148,
"preview": "local Dict = torch.class(\"Dict\")\n\nfunction Dict:__init(data)\n self.idxToLabel = {}\n self.labelToIdx = {}\n self.freque"
},
{
"path": "opennmt/utils/ExtendedCmdLine.lua",
"chars": 14123,
"preview": "---------------------------------------------------------------------------------\n-- Local utility functions\n-----------"
},
{
"path": "opennmt/utils/Features.lua",
"chars": 2851,
"preview": "-- tds is lazy loaded.\nlocal tds\n\n--[[ Separate words and features (if any). ]]\nlocal function extract(tokens)\n local w"
},
{
"path": "opennmt/utils/FileReader.lua",
"chars": 511,
"preview": "local FileReader = torch.class(\"FileReader\")\n\nfunction FileReader:__init(filename)\n self.file = assert(io.open(filename"
},
{
"path": "opennmt/utils/Logger.lua",
"chars": 4404,
"preview": "--[[ Logger is a class used for maintaining logs in a log file.\n--]]\nlocal Logger = torch.class('Logger')\n\nlocal options"
},
{
"path": "opennmt/utils/Memory.lua",
"chars": 1567,
"preview": "local Memory = {}\n\nlocal options = {\n {\n '-disable_mem_optimization', false,\n [[Disable sharing of internal buffe"
},
{
"path": "opennmt/utils/MemoryOptimizer.lua",
"chars": 6355,
"preview": "--[[ MemoryOptimizer is a class used for optimizing memory usage\n--]]\nlocal MemoryOptimizer = torch.class('MemoryOptimiz"
},
{
"path": "opennmt/utils/Parallel.lua",
"chars": 5212,
"preview": "--[[\n This file provides generic parallel class - allowing to run functions\n in different threads and on different GPU"
},
{
"path": "opennmt/utils/Profiler.lua",
"chars": 4333,
"preview": "--[[ Profile is a class used for generating profiling of a training\n--]]\nlocal Profiler = torch.class('Profiler')\n\nlocal"
},
{
"path": "opennmt/utils/String.lua",
"chars": 1133,
"preview": "--[[\n Split `str` on string or pattern separator `sep`.\n]]\nlocal function split(str, sep)\n local res = {}\n local inde"
},
{
"path": "opennmt/utils/Table.lua",
"chars": 1218,
"preview": "-- tds is lazy loaded.\nlocal tds\n\n--[[ Return subset of table ]]\nlocal function subrange(t, first, count)\n local sub = "
},
{
"path": "opennmt/utils/Tensor.lua",
"chars": 3029,
"preview": "--[[ Recursively call `func()` on all tensors within `out`. ]]\nlocal function recursiveApply(out, func, ...)\n local res"
},
{
"path": "opennmt/utils/init.lua",
"chars": 748,
"preview": "local utils = {}\n\nutils.Cuda = require('opennmt.utils.Cuda')\nutils.Dict = require('opennmt.utils.Dict')\nutils.FileReader"
},
{
"path": "src/cnn.lua",
"chars": 1700,
"preview": "function createCNNModel()\n local model = nn.Sequential()\n\n -- input shape: (batch_size, 1, imgH, imgW)\n model:add(nn."
},
{
"path": "src/data.lua",
"chars": 12110,
"preview": " --[[ Load data. Adapted from https://github.com/da03/Attention-OCR/blob/master/src/data_util/data_gen.py.\n -- ARGS:\n "
},
{
"path": "src/model.lua",
"chars": 21305,
"preview": " --[[ Model, adapted from https://github.com/harvardnlp/seq2seq-attn/blob/master/train.lua\n--]]\nrequire 'nn'\nrequire 'cu"
},
{
"path": "src/train.lua",
"chars": 11264,
"preview": " --[[ Training, adapted from https://github.com/harvardnlp/seq2seq-attn/blob/master/train.lua\n--]]\nrequire 'nn'\nrequire "
},
{
"path": "tools/README.md",
"chars": 649,
"preview": "# Tools\n\nThis directory contains additional tools.\n\n## Generate Vocabulary\n\nTo generate the vocabulary:\n\n```\npython tool"
},
{
"path": "tools/generate_vocab.py",
"chars": 3094,
"preview": "import sys, logging, argparse, os\n\ndef process_args(args):\n parser = argparse.ArgumentParser(description='Generate vo"
}
]
About this extraction
This page contains the full source code of the OpenNMT/Im2Text GitHub repository, extracted and formatted as plain text for AI agents and large language models (LLMs). The extraction includes 78 files (547.8 KB), approximately 202.3k tokens, and a symbol index with 2 extracted functions, classes, methods, constants, and types. Use this with OpenClaw, Claude, ChatGPT, Cursor, Windsurf, or any other AI tool that accepts text input. You can copy the full output to your clipboard or download it as a .txt file.
Extracted by GitExtract — free GitHub repo to text converter for AI. Built by Nikandr Surkov.